f
(
x
)
=
x
2
⋅
l
n
(
x
)
Campo di esistenza.
C
E
=
]
0
,
+
∞
[
Proprietà geometriche.
→
A causa del suo ristretto campo di esistenza la funzione non ha proprietà geometriche.
Intersezione con gli assi.
Radici.
f
(
x
)
=
0
→
x
2
⋅
l
n
(
x
)
=
0
→
l
n
(
x
)
=
0
→
x
=
1
è una radice. A(1,0)
Intercetta. f(0) non esiste ma
l
i
m
x
→
0
+
x
2
⋅
l
n
(
x
)
=
l
i
m
x
→
0
+
l
n
(
x
)
x
-
2
=
l
i
m
x
→
0
+
1
x
-
2
x
-
3
=
l
i
m
x
→
0
+
(
-
x
2
2
)
=
0
. B(0,0) intercetta.
In y=0 intercetta (punto di accumulazione).
Segno della funzione.
f
(
x
)
≥
0
→
x
2
⋅
l
n
(
x
)
≥
0
→
[
l
n
(
x
)
≥
0
]
→
x
≥
1
. Il segno è quello del logaritmo.
Asintoti.
Verticale. Poiche x=0 è un punto di accumulazione non esiste asintoto verticale nel CE.
Orizzontale.
l
i
m
x
→
+
∞
x
2
⋅
l
n
(
x
)
=
+
∞
. Niente asintoto orizzontale.
Obliqui.
f
'
(
x
)
=
d
d
x
[
x
2
⋅
l
n
(
x
)
]
=
2
x
⋅
l
n
(
x
)
+
x
=
x
(
2
⋅
l
n
(
x
)
+
1
)
.
l
i
m
x
→
+
∞
f
'
(
x
)
=
l
i
m
x
→
+
∞
x
(
2
⋅
l
n
(
x
)
+
1
)
=
+
∞
. Niente asintoto obliquo.
Punti stazionari.
f
'
(
x
)
=
0
→
f
'
(
x
)
=
x
(
2
⋅
l
n
(
x
)
+
1
)
=
0
→
{
x
=
0
l
n
(
x
)
=
-
1
2
→
{
x
B
=
0
x
C
=
1
e
.
sono punti stazionari.
Ordinata:
f
(
x
C
)
=
f
(
1
e
)
=
1
e
⋅
l
n
(
e
-
1
2
)
=
-
1
2
e
.
f
'
(
x
)
≥
0
→
(
x
≥
0
)
⋅
(
l
n
(
x
)
≥
-
1
2
)
→
(
x
≥
0
)
⋅
(
x
≥
1
e
)
→
x
≥
1
e
funzione crescente e,
x
≤
1
e
funzione decrescente.
Il punto
C
(
1
e
,
-
1
2
e
)
è un minimo relativo.
Il punto B, oltre che essere radice deve essere anche flesso a tangente orizzontale ( o massimo relativo) dato che
f
'
(
x
B
)
=
f
'
(
0
)
=
0.
Curvature.
f
"
(
x
)
=
d
d
x
[
2
x
⋅
l
n
(
x
)
+
x
]
=
2
⋅
l
n
(
x
)
+
2
+
1
=
2
⋅
l
n
(
x
)
+
3
f
"
(
x
)
=
0
→
2
⋅
l
n
(
x
)
+
3
=
0
→
l
n
(
x
)
=
-
3
2
→
x
D
=
e
-
3
2
=
1
e
3
.
Un flesso a tangente obliqua.
Ordinata:
f
(
x
D
)
=
(
e
-
3
2
)
2
⋅
l
n
(
e
-
3
2
)
=
1
e
3
⋅
(
-
3
2
)
=
-
3
2
e
3
Segno della derivata seconda:
f
"
(
x
)
>
0
x
>
1
e
3
la concavità è rivolta verso l'alto e il flesso è ascendente.
Equazione della retta tangente:
y
f
l
e
x
=
f
'
(
x
D
)
⋅
(
x
-
x
D
)
+
f
(
x
D
)
=
e
-
3
2
(
2
⋅
l
n
(
e
-
3
2
)
+
1
)
⋅
(
x
-
1
e
3
)
-
3
2
e
3
=
-
2
e
3
.
(
x
-
1
e
3
)
-
3
2
e
3
Qui di seguito il grafico finale della funzione.