f
(
x
)
=
a
r
c
t
g
(
1
|
x
|
)
=
{
a
r
c
t
g
(
1
x
)
x
≥
0
a
r
c
t
g
(
-
1
x
)
x
<
0
Campo di esistenza.
→
C
.
E
.
=
R
-
{
0
}
(è lo stesso campo di esistenza della funzione arctg)
Proprietà geometriche.
→
È una funzione pari.
f
(
-
x
)
=
{
a
r
c
t
g
(
-
1
x
)
-
x
≥
0
a
r
c
t
g
(
1
x
)
-
x
<
0
→
{
a
r
c
t
g
(
-
1
x
)
x
<
0
a
r
c
t
g
(
1
x
)
x
>
0
=
f
(
x
)
. Basterà studiare la funzione nel semiasse positivo dell'asse x.
Intersezione con gli assi.
Radici.
f
(
x
)
=
0
→
{
a
r
c
t
g
(
1
x
)
=
0
x
≥
0
a
r
c
t
g
(
-
1
x
)
=
0
x
<
0
→
{
1
x
=
0
x
≥
0
-
1
x
=
0
x
<
0
non esistono radici.
Intercetta. In x=0 la funzione non è definita.
Segno della funzione.
f
(
x
)
≥
0
→
{
a
r
c
t
g
(
1
x
)
≥
0
x
≥
0
a
r
c
t
g
(
-
1
x
)
≥
0
x
<
0
la funzione è sempre positiva.
Asintoti.
Verticale.
l
i
m
x
→
0
+
a
r
c
t
g
(
1
x
)
=
π
2
e
l
i
m
x
→
0
-
a
r
c
t
g
(
-
1
x
)
=
π
2
. In x=0 la funzione ha una discontinuità di terza specie.
Orizzontale.
l
i
m
x
→
+
∞
a
r
c
t
g
(
1
x
)
=
0
e
l
i
m
x
→
-
∞
a
r
c
t
g
(
1
x
)
=
0
. Asse delle ascisse asintoto orizzontale.
Obliqui. L'asse delle ascisse è asintoto orizzontale.
Punti stazionari.
f
'
(
x
)
=
d
d
x
[
a
r
c
t
g
(
1
x
)
x
≥
0
a
r
c
t
g
(
-
1
x
)
x
<
0
]
=
{
-
1
x
2
(
1
+
1
x
2
)
x
≥
0
1
x
2
(
1
+
1
x
2
)
x
<
0
→
{
-
1
1
+
x
2
x
≥
0
1
1
+
x
2
x
<
0
f
'
(
x
)
≥
0
→
Non esistono punti stazionari . Notare che in x=0 la derivata prima è discontinua.
Curvature.
f
"
(
x
)
=
d
d
x
[
-
1
1
+
x
2
x
≥
0
1
1
+
x
2
x
<
0
]
=
{
2
x
(
1
+
x
2
)
2
x
≥
0
-
2
x
(
1
+
x
2
)
2
x
<
0
f
'
'
(
x
)
≥
0
→
La derivata seconda è sempre positiva. La concavità è rivolta sempre verso l'alto.
Qui di seguito il grafico finale della funzione.