f
(
x
)
=
x
2
|
x
+
1
|
=
{
x
2
x
+
1
x
≥
-
1
-
x
2
x
+
1
x
<
-
1
Campo di esistenza.
→
C
.
E
.
=
R
-
{
-
1
}
Proprietà geometriche.
f
(
-
x
)
=
{
x
2
-
x
+
1
x
≤
1
-
x
2
-
x
+
1
x
>
1
non ha particolari proprietà di simmetria
Intersezione con gli assi.
Radici. x=0 è una radice: A(0,0).
Intercetta. A(0,0)
Segno della funzione.
f
(
x
)
≥
0
→
è evidente che la funzione è sempre positiva.
Asintoti.
Verticale. Nel punto di discontinuità.
l
i
m
x
→
-
1
+
x
2
x
+
1
=
+
∞
l
i
m
x
→
-
1
-
-
x
2
x
+
1
=
+
∞
Orizzontale.
l
i
m
x
→
±
∞
x
2
|
x
+
1
|
=
±
∞
.
Obliqui.
f
'
(
x
)
=
d
d
x
[
x
2
|
x
+
1
|
]
=
{
d
d
x
(
x
2
x
+
1
)
=
2
x
(
x
+
1
)
-
x
2
(
x
+
1
)
2
=
2
x
2
+
2
x
-
x
2
(
x
+
1
)
2
=
x
2
+
2
x
(
x
+
1
)
2
x
≥
-
1
d
d
x
(
-
x
2
x
+
1
)
=
-
2
x
(
x
+
1
)
-
x
2
(
x
+
1
)
2
=
-
2
x
2
+
2
x
-
x
2
(
x
+
1
)
2
=
-
x
2
+
2
x
(
x
+
1
)
2
x
<
-
1
m
=
l
i
m
x
→
±
∞
f
'
(
x
)
=
.
{
l
i
m
x
→
+
∞
x
2
+
2
x
(
x
+
1
)
2
x
≥
-
1
l
i
m
x
→
-
∞
-
x
2
+
2
x
(
x
+
1
)
2
x
<
-
1
=
{
l
i
m
x
→
+
∞
x
2
+
2
x
(
x
+
1
)
2
=
1
x
≥
-
1
l
i
m
x
→
-
∞
-
x
2
+
2
x
(
x
+
1
)
2
=
-
1
x
<
-
1
=
q
=
l
i
m
x
→
±
∞
[
f
(
x
)
-
f
'
(
x
)
⋅
x
]
=
{
l
i
m
x
→
+
∞
[
x
2
x
+
1
-
x
2
+
2
x
(
x
+
1
)
2
x
]
x
≥
-
1
l
i
m
x
→
-
∞
[
-
x
2
x
+
1
+
x
2
+
2
x
(
x
+
1
)
2
x
]
x
<
-
1
=
{
l
i
m
x
→
+
∞
x
2
x
+
1
-
x
-
2
(
x
+
1
)
2
x
≥
-
1
l
i
m
x
→
-
∞
x
2
-
x
-
1
+
x
+
2
(
x
+
1
)
2
x
<
-
1
=
{
l
i
m
x
→
+
∞
-
x
2
(
x
+
1
)
2
=
-
1
x
≥
-
1
l
i
m
x
→
-
∞
x
2
(
x
+
1
)
2
=
+
1
x
<
-
1
Asintoto obliquo:
y
=
x
-
1
e
y
=
-
x
+
1
Punti stazionari.
f
'
(
x
)
=
0
→
{
x
2
+
2
x
(
x
+
1
)
2
=
0
x
≥
-
1
-
x
2
+
2
x
(
x
+
1
)
2
=
0
x
<
-
1
due punti stazionari. In
x
A
=
0
e in
x
B
=
-
2
. Ordinata di
x
B
:
f
(
x
B
)
=
-
(
-
2
)
2
(
-
2
)
+
1
=
-
4
-
1
=
4
Segno della derivata prima:
f
'
(
x
)
≥
0
→
{
x
2
+
2
x
(
x
+
1
)
2
≥
0
x
≥
-
1
-
x
2
+
2
x
(
x
+
1
)
2
≥
0
x
<
-
1
→
{
(
x
≥
0
)
⋅
(
x
≥
-
2
)
x
>
-
1
(
x
≤
0
)
⋅
(
x
≥
-
2
)
x
<
-
1
→
{
∀
x
≥
0
x
>
-
1
∀
-
2
≤
x
<
-
1
x
<
-
1
la funzione è crescente.
Se ne deduce che
B
(
-
2
,
-
4
)
è un massimo relativo e che A(0,0) è un minimo relativo.
Curvature.
f
"
(
x
)
=
d
d
x
[
x
2
+
2
x
(
x
+
1
)
2
x
≥
-
1
-
x
2
+
2
x
(
x
+
1
)
2
x
<
-
1
]
=
{
2
(
x
+
1
)
3
x
≥
-
1
-
2
(
x
+
1
)
3
x
<
-
1
.
La derivata seconda non mostra la presenza di flessi a tangente obliqua. La concavità è sempre verso l'alto.
Qui di seguito il grafico finale della funzione.