N. 1 STUDI DI FUNZIONI

Studiare, nel suo dominio naturale la funzione: $f (x) =$ $\frac{x}{x - 1} e^{\frac{1}{x}}$

La funzione è definita in R\{0,1}.

Limiti alle frontiere del dominio:

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{x}{x - 1} e^{\frac{1}{x}} = + \infty$
$lim_{x \to 1^{-}} \frac{x}{x - 1} e^{\frac{1}{x}} = - \infty$
$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{x - 1} e^{\frac{1}{x}} = - \infty$
$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{x - 1} e^{\frac{1}{x}} = 0$
$lim_{x \to + \infty} \frac{x}{x - 1} e^{\frac{1}{x}} = 1$
$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x - 1} e^{\frac{1}{x}} = 1$

Segno positivo:

$f (x) \geq 0 \to \frac{x}{x - 1} \geq 0 \to x \in] - \infty, 0 [\cup] 1, + \infty [$

Derivata prima:

$f' (x) = \frac{x - 1 - x}{{(x - 1)}^{2}} e^{\frac{1}{x}} + \frac{x}{x - 1} (- \frac{1}{x^{2}}) e^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{x}} (\frac{- x - (x - 1)}{x {(x - 1)}^{2}}) = \frac{1 - 2 x}{x {(x - 1)}^{2}} e^{\frac{1}{x}}$

Estremo relativo in : $x = \frac{1}{2}$ , $f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} - 1} e^{2} = - e^{2}$