Studiare, nel suo dominio naturale la funzione: $f\left(x\right)=e^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}\frac{x}{x-1}$

Dominio di definizione D, $x\in ]-\infty ,0[\cup ]0,1[\cup ]1,+\infty [$

Limiti alle frontiere del dominio:

$\underset{x\to -\infty }{lim}{e}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}\frac{x}{x-1}=1$

$\underset{x\to 0^{-}}{lim}{e}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}\frac{x}{x-1}=0$

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{e}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}\frac{x}{x-1}=-\infty$

$\underset{x\to 1^{-}}{lim}{e}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}\frac{x}{x-1}=-\infty$

$\underset{x\to 1^{+}}{lim}{e}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}\frac{x}{x-1}=+\infty$

$\underset{x\to +\infty }{lim}{e}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}\frac{x}{x-1}=1$

Segno positivo: $f\left(x\right)=e^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}\frac{x}{x-1}\ge 0\to x\in ]-\infty ,0[\cup ]1,+\infty [$

Derivata prima: $\frac{df}{dx}=-\frac{1}{x^2}{e}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}\frac{x}{x-1}+e^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}\frac{x-1-x}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{e^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}}{x{\left(x-1\right)}^2}\left(-x+1-x\right)=e^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}\frac{1-2x}{x{\left(x-1\right)}^2}$

La derivata prima si annulla se $1-2x=0\to x=\frac{1}{2}$ e $f\left(\frac{1}{2}\right)=-e^2$. Si vede facilmente che siamo in presenza di un massimo relativo.

Limiti alle frontiere del dominio per la derivata prima dove la funzione ha limite finito: $\underset{x\to 0^{-}}{lim}{e}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}\frac{1-2x}{x{\left(x-1\right)}^2}=0$