Determinare un valore α∈ℝ per cui la funzione g(x)=α interseca in un solo punto la funzione f(x) indicata;

determinare poi un valore α∈ℝ per cui la funzione g(x)= α interseca la funzione f(x) in più di un punto; $f\left(x\right)=$$\frac{1}{x-3}{e}^{x-2}$

Dominio di definizione D : $x\in ]-\infty ,3[\cup ]3,+\infty [$

Limiti alle frontiere del dominio:

• $\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{1}{x-3}{e}^{x-2}=0$
• $\underset{x\to 3^{-}}{lim}\frac{1}{x-3}{e}^{x-2}=-\infty$
• $\underset{x\to 3^{+}}{lim}\frac{1}{x-3}{e}^{x-2}=+\infty$
• $\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{1}{x-3}{e}^{x-2}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{e^{x-2}}{1}=+\infty$

Asintoto verticale x=3. Intercetta: $f\left(0\right)=-\frac{1}{3e^2}$

Segno positivo. f(x)≥0 ∀x>3.

Derivata prima. $\frac{df}{dx}=\frac{e^{x-2}\left(x-3\right)-e^{x-2}}{{\left(x-3\right)}^2}=e^{x-2}\frac{x-4}{x-3}$.

Estremo in x=4. Minimo perchè $\frac{df}{dx}\le 0$ per x<4 e $\frac{df}{dx}\ge 0$ per x>4. $f\left(4\right)=e^2$

Osservando il grafico della funzione f(x) si ricava che la funzione g(x)=α interseca la f(x) in un punto per x ∈]-∞,3[ e in x=4, interseca la f(x) in due punti per x∈]3,4[∪]4,+∞[