N. 12 STUDI DI FUNZIONI

Determinare, se esiste, un valore α∈ℝ per cui la funzione g(x)=α interseca in un solo punto la funzione f(x) indicata:

$f (x) =$ $\frac{\ln (x)}{1 + \ln (x)}$

Dominio di definizione: ${\begin{matrix} x > 0 \\ 1 + \ln (x) \neq 0 \end{matrix} \to {\begin{matrix} x > 0 \\ \ln (x) \neq - 1 \end{matrix} \to {\begin{matrix} x > 0 \\ x \neq e^{- 1} \end{matrix} \to \to x \in] 0, \frac{1}{e} [\cup] \frac{1}{e}, + \infty [$

Limiti alle frontiere del dominio:

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (x)}{1 + \ln (x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} = 1$
$lim_{x \to {\frac{1}{e}}^{-}} \frac{\ln (x)}{1 + \ln (x)} = + \infty$
$lim_{x \to {\frac{1}{e}}^{+}} \frac{\ln (x)}{1 + \ln (x)} = - \infty$
$lim_{x \to + \infty} \frac{\ln (x)}{1 + \ln (x)} = 1$

Asintoto orizzontale y= 1; asintoto verticale x=1/e

Segno positivo. $\frac{\ln (x)}{1 + \ln (x)} \geq 0 \to x \in] 0, \frac{1}{e} [\cup [1, + \infty [$

Derivata prima. $\frac{ⅆ f}{ⅆ x} = \frac{\frac{1}{x} \cdot (1 + \ln x) - \frac{\ln x}{x}}{{(1 + \ln x)}^{2}} = \frac{1}{x {(1 + \ln x)}^{2}}$ .

Non ci sono estremi relativi. La derivata prima è discontinua in x= 1/e e in x=0.

In particolare in x=0 (dato che la funzione ha limite finito):

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x {(1 + \ln x)}^{2}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{{(1 + \ln x)}^{2}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x^{2}}}{2 (1 + \ln x) \cdot \frac{1}{x}} = - \frac{1}{2} lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \ln x} = - \frac{1}{2} lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x}} = - \infty$

Una funzione (costante) g(x)=α interseca la funzione f(x) in un solo punto per ogni α (appartenente al codominio della funzione)