Studiare, nel suo dominio naturale la funzione: $f\left(x\right)=\sqrt{\frac{2x-1}{x-1}}$

Dominio di definizione D, $x\in ]-\infty ,\frac{1}{2}]\cup ]1,+\infty [$

Limiti alle frontiere del dominio :

• $\underset{x\to -\infty }{lim}\sqrt{\frac{2x-1}{x-1}}=\sqrt{2}$
• $\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{-}}{lim}\sqrt{\frac{2x-1}{x-1}}=0$
• $\underset{x\to 1^{+}}{lim}\sqrt{\frac{2x-1}{x-1}}=+\infty$
• $\underset{x\to +\infty }{lim}\sqrt{\frac{2x-1}{x-1}}=\sqrt{2}$

Asintoto orizzontale $y=\sqrt{2}$; asintoto verticale $x=1$

Segno positivo : ∀x∈D. La funzione si annulla in x=½.

Derivata prima: $\frac{df}{dx}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x-1}{2x-1}}·\frac{2\left(x-1\right)-\left(2x-1\right)}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x-1}{2x-1}}·\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}$

La derivata prima non è continua in x=½ e in x=1: $\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{-}}{lim}\frac{df}{dx}=+\infty$. Non ci sono estremi relativi.