Studiare, nel suo dominio naturale la funzione: $f\left(x\right)=e^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}\sqrt{x+4}$

Dominio di definizione D, $x\in [-4,0[\cup ]0,+\infty [$

Limiti alle frontiere del dominio:

$\underset{x\to -4^{+}}{lim}{e}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}\sqrt{x+4}=0$

$\underset{x\to 0^{-}}{lim}{e}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}\sqrt{x+4}=0$

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{e}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}\sqrt{x+4}=+\infty$

$\underset{x\to +\infty }{lim}{e}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}\sqrt{x+4}=+\infty$

Segno positivo: $f\left(x\right)=e^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}\sqrt{x+4}\ge 0$ , ∀x∈D

Derivata prima: $\frac{df}{dx}=-\frac{1}{x^2}{e}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}\sqrt{x+4}+e^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}\frac{1}{2\sqrt{x+4}}=\frac{e^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}}{2x^2\sqrt{x+4}}(x^2-2x-8)$

La derivata prima si annulla se $x^2-2x-8=0\to \{\begin{array}{c}{x}_1=4\\ x_2=-2\end{array}$.

La derivata prima è positiva per x<-2 e per x> 4; in x=-2 si ha un massimo relativo e in x= 4 un minimo relativo.

Ordinate degli estremi : $\{\begin{array}{c}f\left(-2\right)=\sqrt{\frac{2}{e}}\\ f\left(4\right)=2\sqrt{2}·\sqrt[4]{e}\end{array}$

Limiti alle frontiere del dominio per la derivata prima (dove la funzione ha limite finito):

$\underset{x\to -4^{+}}{lim}{e}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}\frac{1}{2x^2\sqrt{x+4}}(x^2-2x-8)=+\infty$

$\underset{x\to 0^{-}}{lim}{e}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}\frac{1}{2x^2\sqrt{x+4}}(x^2-2x-8)<mrow>\; =</mrow>0$