N. 16 STUDI DI FUNZIONI

Studiare, nel suo dominio naturale la funzione: $f (x) = \sqrt{∣ x^{2} - 5 x ∣}$

La funzione è definita in ℝ ma per intervalli: $f (x) =$ ${\begin{matrix} \sqrt{x^{2} - 5 x} x^{2} - 5 x \geq 0 \to x \leq 0 \lor x \geq 5 \\ \sqrt{5 x - x^{2}} x^{2} - 5 x < 0 \to 0 < x < 5 \end{matrix}$

Limiti alle frontiere del dominio:

$lim_{x \to - \infty} \sqrt{x^{2} - 5 x} = + \infty$
$lim_{x \to 0^{-}} \sqrt{x^{2} - 5 x} = 0$
$lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{5 x - x^{2}} = 0$
$lim_{x \to 5^{-}} \sqrt{5 x - x^{2}} = 0$
$lim_{x \to 5^{-}} \sqrt{x^{2} - 5 x} = 0$
$lim_{x \to + \infty} \sqrt{x^{2} - 5 x} = + \infty$

Segno: $f (x) \geq 0$ ∀x∈ℝ

Derivata prima:

$f' (x) =$ ${\begin{matrix} \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} - 5 x}} \cdot (2 x - 5) x^{2} - 5 x \geq 0 \to x \leq 0 \lor x \geq 5 \\ \frac{1}{2 \sqrt{5 x - x^{2}}} \cdot (5 - 2 x) x^{2} - 5 x < 0 \to 0 < x < 5 \end{matrix}$

Estremo relativo in : $x = \frac{5}{2}$ , $f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{2} - \frac{25}{4}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$ (solo per 0<x<5)

Cuspidi in x= 0 e in x=5 (per discontinuità della derivata prima, frequenti con i valori assoluti )