Studiare nel suo dominio naturale la funzione: $f\left(x\right)=e^{-\mid x\mid }\ln \left(\mid x-2\mid \right)$

Posto $\{\begin{array}{c}x-2\ge 0\\ x\ge 0\end{array}$ , applicando la regola dei segni si ricava la funzione definita per intervalli: $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}{e}^x·\ln \left(2-x\right) x<0\\ e^{-x}·\ln \left(2-x\right) 0\le x<2\\ e^{-x}·\ln \left(x-2\right) x>2\\ \end{array}$

Dominio di definizione D: $x\in ]-\infty ,2[\cup ]2,+\infty [$

Limiti alle frontiere del dominio:

• $\underset{x\to -\infty }{lim}{e}^x·\ln \left(2-x\right)=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{\ln \left(2-x\right)}{e^{-x}}=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{-\frac{1}{2-x}}{-e^{-x}}=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{e^x}{2-x}=0$
• $\underset{x\to 0^{-}}{lim}{e}^x·\ln \left(2-x\right)=\ln 2$
• $\underset{x\to 0^{+}}{lim}{e}^{-x}·\ln \left(2-x\right)=\ln 2$
• $\underset{x\to 2^{-}}{lim}{e}^{-x}·\ln \left(2-x\right)=-\infty$
• $\underset{x\to 2^{+}}{lim}{e}^{-x}·\ln \left(x-2\right)=-\infty$
• $\underset{x\to +\infty }{lim}{e}^{-x}·\ln \left(x-2\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{\ln \left(x-2\right)}{e^x}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{\frac{1}{x-2}}{e^x}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{1}{\left(x-2\right)e^x}=0$

Asintoto verticale in x=2. Asintoto orizzontale x=0 per x→±∞.

Segno positivo. $f\left(x\right)\ge 0\to \{\begin{array}{c}{e}^x·\ln \left(2-x\right) \ge 0 x<0\\ e^{-x}·\ln \left(2-x\right) \ge 0 0\le x<2\\ e^{-x}·\ln \left(x-2\right) \ge 0 x>2\end{array}\to$$\{\begin{array}{c}2-x\ge 1 x<0\\ 2-x\ge 1 0\le x<2\\ x-2\ge 1 x>2\end{array}\to$$\{\begin{array}{c}x\le 1 x<0\\ x\le 1 0\le x<2\\ x\ge 3 x>2\end{array}$

Quindi la funzione è positiva in ]-∞,1] ∪ [3,+∞[ .

La funzione si annulla in x= 1 e in x= 3. Inoltre è presente un'intercetta dell'asse delle ordinate: $f\left(0\right)=\ln \left(2\right)$

Derivata prima. $\frac{df}{dx}=\{\begin{array}{c}{e}^x·\ln \left(2-x\right)-\frac{e^x}{2-x} x<0\\ {-e}^{-x}·\ln \left(2-x\right)-\frac{e^{-x}}{2-x} 0\le x<2\\ {-e}^{-x}·\ln \left(x-2\right)+\frac{e^{-x}}{x-2} x>2\end{array}$

La derivata prima si annulla se $\{\begin{array}{c}\ln \left(2-x\right) -\frac{1}{2-x}=0 x<0\\ \ln \left(2-x\right) +\frac{1}{2-x}=0 0\le x<2\\ \ln \left(x-2\right)-\frac{1}{x-2} =0 x>2\end{array}$$\to \{\begin{array}{c}\ln \left(2-x\right) =-\frac{1}{x-2} x<0\\ \ln \left(2-x\right) =\frac{1}{x-2} 0\le x<2\\ \ln \left(x-2\right)=\frac{1}{x-2} x>2\end{array}$

Dal confronto dei grafici delle due funzioni più semplici ricavate si può osservare che deve esistere un estremo per 3<x<4 (massimo relativo).