Studiare, nel suo dominio naturale la funzione: $f\left(x\right)=$$x·\ln x-\frac{x}{\ln x}-2x$

La funzione è definita in ℝ⁺\{0,1}.

Limiti alle frontiere del dominio:

• $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\left(x·\ln x-\frac{x}{\ln x}-2x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}x·\ln x-\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x}{\ln x}-2·\underset{x\to 0^{+}}{lim}x=0$ ($\underset{x\to 0^{+}}{lim}x·\ln x=0$ è un limite notevole)
• $\underset{x\to 1^{-}}{lim}\left(x·\ln x-\frac{x}{\ln x}-2x\right)=+\infty$
• $\underset{x\to 1^{+}}{lim}\left(x·\ln x-\frac{x}{\ln x}-2x\right)=-\infty$
• $\underset{x\to +\infty }{lim}\left(x·\ln x-\frac{x}{\ln x}-2x\right)=+\infty$

Segno positivo:

$f\left(x\right)\ge 0\to x·\ln x-\frac{x}{\ln x}-2x\ge 0\to \frac{x}{\ln x}·({\ln }^{2}x-2·\ln x-1)\ge 0\to \frac{x}{\ln x}·\left(\ln x-1-\sqrt{2}\right)\left(\ln x-1+\sqrt{2}\right)\ge 0$ . Si ricava, dallo studio del prodotto dei segni che la funzione data è positiva, nel dominio di definizione, per $x\in [e^{1-\sqrt{2}},1[\cup [e^{1+\sqrt{2}},+\infty [$. La funzione ha due radici in $x=e^{1-\sqrt{2}}$ e in $x=e^{1+\sqrt{2}}$

Derivata prima:

$f\text{'}\left(x\right)=$$\ln x+1-\frac{\ln x-1}{{\ln }^{2}x}-2=\frac{{\ln }^{3}x-{\ln }^{2}x-\ln x+1}{{\ln }^{2}x}=\frac{\left(\ln x+1\right){\left(\ln x-1\right)}^2}{{\ln }^{2}x}$.

Segno della derivata prima.

Negativa per $x<\frac{1}{e}$ , positiva per $x>\frac{1}{e}$. In $x=\frac{1}{e}$ un minimo locale $f\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}·\ln \frac{1}{e}-\frac{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$e$}\right.}{\ln \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$e$}\right.}-\frac{2}{e}=-\frac{1}{e}+\frac{1}{e}-\frac{2}{e}=-\frac{2}{e}$ .

Ma la derivata prima si annulla anche per $\ln x-1=0\to \ln x=1\to x=e$ . In $x=e$ un flesso a tangente orizzontale $f\left(e\right)=e·\ln e-\frac{e}{\ln e}-2e=e-e-2e=-2e$