Determinare per quali x∈ℝ ha senso ed è soddisfatta la disuguaglianza f(x)≥g(x) dove $f\left(x\right)=x\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}$ e g(x)=2 - x

Dominio di definizione D, $x\in ]-\infty ,1]\cup ]2,+\infty [$

Limiti alle frontiere del dominio :

• $\underset{x\to -\infty }{lim}x\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}=-\infty$
• $\underset{x\to 1^{-}}{lim}x\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}=0$
• $\underset{x\to 2^{+}}{lim}x\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}=+\infty$
• $\underset{x\to +\infty }{lim}x\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}=+\infty$

Asintoto verticale $x=2$. Esiste anche un asintoto obliquo (basta osservare che, per x→∞, f(x)→x).

• $m=\underset{x\to \infty }{lim}\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to \infty }{lim}\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}=1$
• $q=\underset{x\to \infty }{lim}(f\left(x\right)-mx)=\underset{x\to \infty }{lim}(x\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}-x)=\underset{x\to \infty }{lim}x·(\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-2}}-1)=\underset{x\to \infty }{lim}x·\left(\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{x-2}}{\sqrt{x-2}}\right)=$
  $=\underset{x\to \infty }{lim}\frac{x}{\sqrt{x-2}}\left(\frac{x-1-x+2}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}}\right)=\underset{x\to \infty }{lim}\frac{x+1}{\sqrt{x-2}·(\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2})}=\frac{1}{2}$

L'asintoto obliquo ha equazione $y=x+\frac{1}{2}$

Segno positivo : ∀x∈[0,1] ∪]2,+∞[. La funzione si annulla in x=0 e in x=½.

Derivata prima: $\frac{df}{dx}=\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}+x·\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x-2}{x-1}}·\frac{x-2-x+1}{{\left(x-2\right)}^2}=\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}-x·\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x-2}{x-1}}·\frac{1}{{\left(x-2\right)}^2}=\sqrt{\frac{x-2}{x-1}}[\frac{x-1}{x-2}-\frac{x}{2{\left(x-2\right)}^2}]=$
$=\sqrt{\frac{x-2}{x-1}}·\frac{2\left(x-1\right)\left(x-2\right)-x}{2{\left(x-2\right)}^2}=\sqrt{\frac{x-2}{x-1}}·\frac{2x^2-4x-2x+4-x}{2{\left(x-2\right)}^2}=\sqrt{\frac{x-2}{x-1}}·\frac{2x^2-7x+4}{2{\left(x-2\right)}^2}$

La derivata prima non è continua in x=2 e in x=1.

Si annulla in $x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-7\pm \sqrt{17}}{4}$ e in corrispondenza di questo punti sono presenti un massimo relativo e un minimo relativo.

Osservando i grafici delle due funzioni f(x) e g(x) si evinche che la disuguaglianza f(x)≥g(x) è soddisfatta ∀x∈]2,+∞[