Determinare un valore α∈ℝ per cui la funzione g(x)=αx interseca in un solo punto la funzione f(x) indicata;

determinare poi un valore α∈ℝ per cui la funzione g(x)=αx interseca la funzione f(x) in più di un punto.

$f\left(x\right)=e^x·\ln \mid x+4\mid$

La funzione data è equivalente alla funzione definita per intervalli: $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}{e}^x·\ln \left(x+4\right) x\ge -4\\ e^x·\ln \left(-x-4\right) x<-4\end{array}$

Dominio di definizione D: $x\in ]-\infty ,-4[\cup ]-4,+\infty [$

Limiti alle frontiere del dominio.

• $\underset{x\to -\infty }{lim}{e}^x·\ln \left(-x-4\right)=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{\ln \left(-x-4\right)}{e^{-x}}=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{-\frac{1}{-x-4}}{-e^{-x}}=\underset{x\to -\infty }{lim}-\frac{e^x}{x+4}=0$
• $\underset{x\to {-4}^{-}}{lim}{e}^x·\ln \left(-x-4\right)=-\infty$
• $\underset{x\to {-4}^{+}}{lim}{e}^x·\ln \left(x+4\right)=-\infty$
• $\underset{x\to +\infty }{lim}{e}^x·\ln \left(x+4\right)=+\infty$

Asintoto verticale in x=-4. Asintoto orizzontale x=0 per x→-∞.

Segno positivo. $f\left(x\right)\ge 0\to \{\begin{array}{c}{e}^x·\ln \left(x+4\right) \ge 0 x\ge -4\\ e^x·\ln \left(-x-4\right) \ge 0 x<-4\end{array}\to$$\{\begin{array}{c}x+4\ge 1 x\ge -4\\ -x-4\ge 1 x<-4\end{array}\to$$\{\begin{array}{c}x\ge -3 x\ge -4\\ x\le -5 x<-4\end{array}$

La funzione si annulla in x= -3 e in x= -5. Inoltre è presente un'intercetta dell'asse delle ordinate: $f\left(0\right)=\ln \left(4\right)$

Derivata prima. $\frac{df}{dx}=\{\begin{array}{c}{e}^x·\ln \left(x+4\right)+\frac{e^x}{x+4} x\ge -4\\ e^x·\ln \left(-x-4\right)+\frac{e^x}{x+4} x<-4\end{array}$

La derivata prima si annulla se $\{\begin{array}{c}\ln \left(x+4\right) +\frac{1}{x+4}=0 x\ge -4\\ \ln \left(-x-4\right)+\frac{1}{x+4} =0 x<-4\end{array}$$\to \{\begin{array}{c}\ln \left(x+4\right) =-\frac{1}{x+4} x\ge -4\\ \ln \left(-x-4\right)=-\frac{1}{x+4} x<-4\end{array}$

Dal confronto dei grafici delle due funzioni più semplici ricavate si può osservare che deve esistere un estremo per x<-4 (massimo relativo).

Una funzione g(x)=α incontra in un sol punto la funzione indicata se x>x₀ , con x₀≈-2.9645 uguale all'ascissa che fornisce il valore dell'ordinata (≈0.0018) corrispondente al massimo relativo di $e^x·\ln \left(-x-4\right)$ ma calcolata con $e^x·\ln \left(x+4\right)$. Negli altri casi la funzione g(x) incontra la f(x) in più di un punto.