Studiare, nel suo dominio naturale la funzione: $f\left(x\right)=x\sqrt{\frac{2x+1}{x+1}}$

Dominio di definizione D, $x\in ]-\infty ,-1[\cup [-\frac{1}{2},+\infty [$

Limiti alle frontiere del dominio :

• $\underset{x\to -\infty }{lim}x\sqrt{\frac{2x+1}{x+1}}=-\infty$
• $\underset{x\to {-1}^{-}}{lim}x\sqrt{\frac{2x+1}{x+1}}=-\infty$
• $\underset{x\to -{\frac{1}{2}}^{+}}{lim}x\sqrt{\frac{2x+1}{x+1}}=0$
• $\underset{x\to +\infty }{lim}x\sqrt{\frac{2x+1}{x+1}}=+\infty$

Asintoto verticale $x=-1$. Esiste anche un asintoto obliquo (basta osservare che, per x→∞, f(x)→√2·x).

• $m=\underset{x\to \infty }{lim}\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to \infty }{lim}\sqrt{\frac{2x+1}{x+1}}=\sqrt{2}$
• $q=\underset{x\to \infty }{lim}(f\left(x\right)-mx)=\underset{x\to \infty }{lim}(x\sqrt{\frac{2x+1}{x+1}}-\sqrt{2}x)=\underset{x\to \infty }{lim}x·(\frac{\sqrt{2x+1}}{\sqrt{x+1}}-\sqrt{2})=\underset{x\to \infty }{lim}x·\left(\frac{\sqrt{2x+1}-\sqrt{2x+2}}{\sqrt{x+1}}\right)=$
  $=\underset{x\to \infty }{lim}\frac{x}{\sqrt{x+1}}\left(\frac{2x+1-2x-2}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{2x+2}}\right)=\underset{x\to \infty }{lim}\frac{-x}{\sqrt{x+1}·(\sqrt{2x+1}+\sqrt{2x+2})}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$

L'asintoto obliquo ha equazione $y=\sqrt{2}x-\frac{\sqrt{2}}{4}$

Segno positivo : ∀x≥0. La funzione si annulla in x=0 e in x=½.

Derivata prima: $\frac{df}{dx}=\sqrt{\frac{2x+1}{x+1}}+x·\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x+1}{2x+1}}·\frac{2\left(x+1\right)-\left(2x+1\right)}{{\left(x+1\right)}^2}=\sqrt{\frac{2x+1}{x+1}}+x·\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x+1}{2x+1}}·\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}=\sqrt{\frac{x+1}{2x+1}}[\frac{2x+1}{x+1}+\frac{x}{2{\left(x+1\right)}^2}]=$
$=\sqrt{\frac{x+1}{2x+1}}·\frac{2\left(x+1\right)\left(2x+1\right)+x}{2{\left(x+1\right)}^2}=\sqrt{\frac{x+1}{2x+1}}·\frac{4x^2+7x+2}{2{\left(x+1\right)}^2}$

La derivata prima non è continua in x=-½ e in x=-1.

Si annulla in $x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-7\pm \sqrt{33}}{8}$ e in corrispondenza di questo punti sono presenti un massimo relativo e un minimo relativo.