• Definizione Integrale Definito

1. Data una f(x) ∈ C⁰([a; b]) si divide [a; b] in n+1 sottointervalli scegliendo n punti tale che :  a < x₁ < x₂ < x₃ < x₄ < x₅ .......< x_n < b
2. Le ampiezze dei sottointervalli sono: ∆x₁= x₁ - a, ∆x₂= x₂ - x₁ , ∆x₃= x₃ - x₂ , .........., ∆x_n= b - x_n
3. Dentro ogni sottointervallo si sceglie un punto a caso x₁ < x₂ < x₃ < x₄ < x₅ .......< x_n < b
4. Si considera la somma:     $S_n=f\left({\underset{¯}{x}}_1\right)\cdot ▵x_1+f\left({\underset{¯}{x}}_2\right)\cdot ▵x_2+f\left({\underset{¯}{x}}_3\right)\cdot ▵x_3+f\left({\underset{¯}{x}}_4\right)\cdot ▵x_4+f\left({\underset{¯}{x}}_5\right)\cdot ▵x_5+\mathrm{....}+f\left({\underset{¯}{x}}_n\right)\cdot ▵x_n$
5. si dice Integrale Definito esteso all'intervallo [a; b] della funzione f(x) il  $\underset{n\to \mathrm{+\infty }}{lim}{S}_{n }$= I  (si può dimostrare che se f(x) ∈ C⁰([a; b]) I è finito).
6. Tale limite si scrive con la formula:     $I={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$
   

• Teorema della media

Ipotesi: f(x) ∈ C⁰([a; b])
Tesi: Esiste un punto x ∈ [a; b] tale che:  $f\left(\underset{¯}{x}\right)=\frac{{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}{b-a}$

Dimostrazione.

1. Poiché f(x) è continua in [a; b] per il Th di Weierstrass esiste il massimo M e il  minimo m : m ≤ f(x) ≤ M
2. Per la proprietà del confronto tra gli integrali vale anche la disuguaglianza:     ${\int }_a^{b}mdx\le {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\le {\int }_a^{b}Mdt$
3. Applicando la proprietà dell'integrale di una costante : $m\left(b-a\right)\le {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\le M\left(b-a\right)$
4. Si divide con b-a :     $m\le \frac{{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}{b-a}\le M$
5. Per il Th dei valori intermedi, in una funzione continua,  devono esistere tutte le f(x) tra il minimo e il massimo.
   

Allora deve esistere un x tale che:      $f\left(\underset{¯}{x}\right)$ $=\frac{{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}{b-a}$

• Teorema fondamentale del calcolo integrale.

Ipotesi: 1) f(x) ∈ C⁰([a b])  2) È costruita una funzione  $F\left(x\right)={\int }_a^{x}f\left(t\right)dt$
Tesi: F(x) è una primitiva di f(x).

Dimostrazione.

1. Si applica un incremento alla x della F(x) e si costruisce il corrispondente rapporto incrementale:       $\frac{F\left(x+▵x\right)-F\left(x\right)}{▵x}$

2. Si sostituisce l'ipotesi 2) nel rapporto incrementale:       $\frac{{\int }_a^{x+▵x}f\left(t\right)dt-{\int }_a^{x}f\left(t\right)dt}{▵x }$
3. Si applica la proprietà dell'additività dell'integrale:    ${\int }_a^{x+▵x}f\left(t\right)dt={\int }_a^{x}f\left(t\right)dt+{\int }_x^{x+▵x}f\left(t\right)dt$
4. Si sostituisce nel rapporto incrementale e si semplifica:     $\frac{{\int }_a^{x}f\left(t\right)dt+{\int }_x^{x+▵x}f\left(t\right)dt-{\int }_a^{x}f\left(t\right)dt}{▵x}=\frac{{\int }_x^{x+▵x}f\left(t\right)dt}{▵x }$
5. Per il teorema della media deve esistere una x ∈ [x; x+ ∆x] tale che: $f\left(\underset{¯}{x}\right)=\frac{{\int }_x^{x+▵x}f\left(t\right)dt}{▵x }$
6. Allora collegando il punto 5. con il punto 1. deve esistere una x ∈ [x; x+ ∆x] tale che: $\underset{\mathrm{}}{}f\left(\underset{¯}{x}\right)=\underset{\mathrm{}}{ }\frac{F\left(\underset{¯}{x}+▵x\right)-F\left(\underset{¯}{x}\right)}{▵x}$  
7. Si calcola il limite per ∆x → 0 in entrambi i membri:    $\underset{▵x\to 0}{lim}f\left(\underset{¯}{x}\right)=\underset{▵x\to 0}{lim}\frac{F\left(x+▵x\right)-F\left(x\right)}{▵x}$.
   

Il primo limite tende a f(x) e il secondo limite alla derivata di F(x),  F'(x). Poiché sono uguali allora f(x)= F'(x) ciò significa che F(x) è una primitiva di f(x).

• Il calcolo dell'integrale definito.

Un integrale definito di una funzione continua f(x) all'interno di un intervallo [a; b] si calcola con la formula:  $I={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx.$Applicando la proprietà dell'additività e dello scambio degli estremi si può scrivere:    $I={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_a^{x}f\left(x\right)dx+{\int }_x^{b}f\left(x\right)dx=-{\int }_x^{a}f\left(x\right)dx+{\int }_x^{b}f\left(x\right)dx$ .
Applicando il Teorema Fondamentale si ricava che: I = F(b) - F(a) con F(x) una primitiva di f(x).