FORMULA PER IL CALCOLO DEL SEGMENTO PARABOLICO

Partiamo dalla dimostrazione di Archimede. Se una retta è secante una parabola nei punti A e B, il segmento AB e l’arco di parabola AB delimitano una parte di piano detta segmento parabolico, tratteggiato nella figura a lato. Tracciamo ora la retta parallela ad AB e tangente alla parabola, e consideriamo su di essa le proiezioni A' e B' di A e B. Archimede ha dimostrato che l’area del segmento parabolico è uguale ai 2/3 dell’area del rettangolo AA'B'B.
Ora consideriamo una parabola del tipo y= ax² e un segmento AB parallelo all'asse delle ascisse.

Applicando il teorema di Archimede, l'area del segmento parabolico AOB è :

{Area}_{\hat{ABB' A'}} = \frac{2}{3} {Area}_{ABB' A'} = \frac{2}{3} y_{B} \cdot 2 x_{B} = \frac{4}{3} {ax}_{B}^{2} \cdot x_{B} = \frac{4}{3} {ax}_{B}^{3}

Ora consideriamo l'area sottesa dalla parabola OB'B. Essa è data da (vedi figura):

\begin{matrix} {Area}_{\hat{OB' B}} = {Area}_{OCBB'} - \frac{{Area}_{\hat{ABB' A'}}}{2} = \\ = x_{B} y_{B} - \frac{2}{3} {ax}_{B}^{3} = (1 - \frac{2}{3}) a x_{B}^{3} = \frac{1}{3} a x_{B}^{3} \end{matrix}

Così ora abbiamo una formula per calcolare l'area sottesa da un arco di parabola.
Ora consideriamo un segmento non parallelo all'asse delle ascisse. Abbiamo una formula per calcolare l'area sottesa dagli archi di parabola.
Potremmo allora calcolare l'area del segmento parabolico AOB come differenza tra l'area del trapezio ABB'A' e la somma delle aree sottese dalla parabola OAA' e OBB':

{Area}_{\hat{AOB}} = {Area}_{A' ABB'} - ({Area}_{\hat{A' AO}} + {Area}_{\hat{OBB'}})

Da quanto scritto prima e esaminando la figura a sinistra possiamo scrivere:

\begin{matrix} {Area}_{\hat{AOB}} = {Area}_{A' ABB'} - ({Area}_{\hat{A' AO}} + {Area}_{\hat{OBB'}}) = \frac{BB' + AA'}{2} \cdot A' B' - \frac{1}{3} a x_{A}^{3} - \frac{1}{3} a x_{B}^{3} = \\ = \frac{y_{B} + y_{A}}{2} \cdot (x_{B} - x_{A}) - \frac{1}{3} a x_{A}^{3} - \frac{1}{3} a x_{B}^{3} = \frac{a x_{B}^{2} + a x_{A}^{2}}{2} \cdot (x_{B} - x_{A}) - \frac{1}{3} a x_{A}^{3} - \frac{1}{3} a x_{B}^{3} = \\ = \frac{a}{2} (x_{B}^{3} - x_{A} x_{B}^{2} + x_{A}^{2} x_{B} - x_{A}^{3}) - \frac{1}{3} a x_{A}^{3} - \frac{1}{3} a x_{B}^{3} = a \cdot \frac{3 x_{B}^{3} - 3 x_{A} x_{B}^{2} + 3 x_{A}^{2} x_{B} - 3 x_{A}^{3} - 2 x_{A}^{3} - 2 x_{B}^{3}}{6} = \\ = a \cdot \frac{x_{B}^{3} - 3 x_{A} x_{B}^{2} + 3 x_{A}^{2} x_{B} - x_{A}^{3}}{6} = \frac{a}{6} \cdot {(x_{B} - x_{A})}^{3} \end{matrix}

Poichè un'area è una quantità definita positiva bisogna introdurre il valore assoluto:

{Area}_{\hat{AOB}} = \frac{| a {(x_{B} - x_{A})}^{3} |}{6}

Questa espressione dell'area del segmento parabolico vale in generale per ogni parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate; infatti, traslando l'origine del sistema di riferimento nel vertice della parabola si riproduce la configurazione studiata.