CONICHE: DALLA FORMA GENERALE ALLA FORMA CANONICA

Una "conica" è il luogo geometrico dei punti P per i quali, dati una retta d (direttrice) e un punto F esterno ad essa, è costante il rapporto tra le distanze di P da F e di P da d.



Se la direttrice d ha equazione px + qy + s = 0, il fuoco è il puntoF(α,β) e il punto P è P(x,y), una conica ha equazione:

PF ¯ = e · PH ¯ ( x α ) 2 + ( y β ) 2 = e · px + qy + s p 2 + q 2

La costante di proporzionalità è detta eccentricità.

Sviluppando algebricamente si ottiene:

Parabola

( p 2 + q 2 e 2 p 2 ) · x 2 + ( p 2 + q 2 e 2 q 2 ) · y 2 2 e 2 p · q · xy 2 [ α ( p 2 + q 2 ) + e 2 p · s ] · x 2 [ β ( p 2 + q 2 ) + e 2 q · s ] · y + ( p 2 + q 2 ) ( α 2 + β 2 ) e 2 s 2 = 0

Posto ora:

a = p 2 + q 2 e 2 p 2 b = e 2 · p · q c = p 2 + q 2 e 2 q 2
d = [ α ( p 2 + q 2 ) + e 2 · p · s ] e = [ β ( p 2 + q 2 ) + e 2 · q · s ] f = ( p 2 + q 2 ) ( α 2 + β 2 ) e 2 · s 2

Si può scrivere:

a · x 2 + 2 b · xy + c · y 2 + 2 d · x + 2 e · y + f = 0

che è l'equazione generale di una conica.

Occorre ora calcolare due parametri.

Si può dimostrare che:

Per ridurre una conica dalla forma generale alla forma canonica bisogna effettuare una isometria. Il metodo è:

  1. Riconoscere la conica (calcola il δ)
  2. Trovare il centro di simmetria C(h,k) della conica dato dall'intersezione delle rette : { t : a · x + b · y + d = 0 v : c · y + b · x + e = 0
  3. Traslare la conica di un vettore V(-h, -k) in modo da portare il centro di simmetria sull'origine degli assi

  4. Ruotare la conica di un angolo che verifica l'equazione b · tan 2 φ ( c a ) · tan φ b = 0 (rotazione necessaria solo se presente il termine misto xy)

Nel caso della parabola non esiste centro di simmetria e le rette t e v sono parallele. Ciò si riconosce calcolando il determinante δ dei coefficienti delle incognite che in questo caso è uguale a zero. Bisogna solo ruotare la conica.