Una equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti variabili (ODE) ha la forma generale: $$A(z)u''(z)+B(z)u'(z)+C(z)u(z)=0\qquad\qquad\qquad\qquad$$ Dividendola con il coefficiente della derivata seconda si ottiene la forma standard: $$u''(z)+p(z)u'(z)+q(z)u(z)=0\qquad\qquad\qquad\qquad (1)$$ Un punto z0 è detto regolare e le funzioni p(z) e q(z) sono ambedue analitiche in z0 . In caso contrario z0 è detto singolare
SOLUZIONI IN UN INTORNO DI UN PUNTO REGOLARE
Se z0 è un punto regolare  la soluzione è analitica in un intorno di  z0 . Quindi può essere sviluppata nella serie di potenze: $$u(z)=\sum_{n=0}^{\infinity} c_n\left(z-z_0\right)^n\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(2)$$ con un raggio di convergenza R positivo e minore od uguale al più piccolo dei raggi di convergenza di p(z) e q(z). I coefficienti ci possono essere ottenuti mediante sostituzione diretta della serie (2) nella ODE (1) ed uguagliando i coefficienti dei termini della stessa potenza. Questo metodo permette il calcolo di tutti i coefficienti eccetto c0 e c1. Questi due possono essere determinati dalle condizioni iniziali, ovvero dalla conoscenza di u(z0)= c0 e  u'(z0)= c1.
SOLUZIONI IN UN INTORNO DI UN PUNTO SINGOLARE REGOLARE
Un punto z0 è detto singolare regolare, o  anche fuchsiano, se ambedue  le due funzioni: $$P(z)=\left(z-z_0\right)p(z)\qquad\qquade\qquad\qquadQ(z)=\left(z-z_0\right)^2q(z)$$sono analitiche in z0. In questo caso la soluzione può essere, in un intorno di z0,  espressa mediante la combinazione lineare: $$u(z)=C_1u_1(z)+C_2u_2(z$$ con C1 e C2 costanti arbitrarie da determinare mediante le condizioni iniziali. Le due soluzioni linearmente indipendenti u1(z) e u2(z) sono ancora sviluppabili in serie di potenze e hanno la forma: $$u_1(z)=\left(z-z_0\right)^{\rho_1}\,\sum_{n=0}^{\infinity}c_n'\left(z-z_0\right)^n$$$$u_2(z)=\begin{cases} \left(z-z_0\right)^{\rho_2}\sum_{n=0}^{\infinity} c_n'' \left(z-z_0\right)^n\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad \rho_1-\rho_2\notinℤ\\ u_1(z)\,\ln\left({z-z_0}\right)+ \left(z-z_0\right)^{\rho_2}\sum_{n=0}^{\infinity} c_n'' \left(z-z_0\right)^n\qquad\qquad \qquad \rho_1-\rho_2=0\\ C\,u_1(z)\,\ln\left({z-z_0}\right)+ \left(z-z_0\right)^{\rho_2}\sum_{n=0}^{\infinity} c_n'' \left(z-z_0\right)^n\qquad\quad \qquad \rho_1-\rho_2 \in ℤ\end{cases}$$ con C diverso da zero. Gli esponenti ρ1 e ρ2 sono calcolati risolvendo l'equazione indiciale: $$\rho^2+\left(p_0-1\right)\rho+q_0=0$$ p0 e q0 sono i primi coefficienti degli sviluppi in serie delle funzioni analitiche P(z) e Q(z).  Ovvero : $$\begin{cases} p_0=\underset{z→z_0}{\lim} \left(z-z_0\right)p(z) \\ q_0=\underset{z→z_0}{\lim} \left(z-z_0\right)^2q(z) \end{cases}$$ Delle due soluzioni dell'equazione indiciale, ρ1 è quella con la parte reale positiva. Una volta individuate le due soluzioni u1(z) e u2(z)  i coefficienti ci possono essere ottenuti mediante sostituzione diretta delle serie che le rappresenta  nella ODE (1) ed uguagliando i coefficienti dei termini della stessa potenza. Questo metodo permette il calcolo di tutti i coefficienti eccetto c0 e c1. Questi due possono essere determinati dalle condizioni iniziali, ovvero dalla conoscenza di u(z0)= c0 e  u'(z0)= c1.
SOLUZIONI IN UN INTORNO DEL UN PUNTO ALL'INFINITO
Prima di tutto occorre sapere se il punto all'infinito è regolare, singolare regolare o singolare non regolare (singolarità essenziale) . Si dimostra che il punto all'infinito è regolare  se i coefficienti p(z) e q(z) hanno i comportamenti asintotici: $$\begin{cases} p(z)=\frac{2}{z}+O\left(\frac{1}{z^2}\right) \\ q(z)=O\left(\frac{1}{z^4}\right) \end{cases}$$mentre è singolare regolare (fuchsiano) se  p(z) e q(z) hanno i comportamenti asintotici: $$\begin{cases} p(z)=O\left(\frac{1}{z}\right) \\ q(z)=O\left(\frac{1}{z^2}\right) \end{cases}$$In pratica affinché il punto all'infinito sia regolare occorre verificare se : $$p_0=\underset{z→\infinity}{\lim}z\,p(z)=2\qquad\qquad⋀\qquad\qquad\qquadq_0=\underset{z→\infinity}{\lim}z^4\,q(z)=l$$ e per essere fuchsiano occorre verificare se: $$p_0=\underset{z→\infinity}{\lim}z\,p(z)=l\qquad\qquad⋀\qquad\qquad\qquadq_0=\underset{z→\infinity}{\lim}z^2\,q(z)=l$$ (l indica un qualsiasi limite finito). Nel caso il punto all'infinito sia regolare la soluzione generale si può sviluppare in serie di potenze del tipo : $$u(z)=\sum_{n=0}^{\infinity} c_n z^{-n}$$ Di nuovo i coefficienti ci possono essere ottenuti mediante sostituzione diretta della serie nella ODE (1) ed uguagliando i coefficienti dei termini della stessa potenza. Questo metodo permette il calcolo di tutti i coefficienti eccetto c0 e c1. Questi due possono essere determinati dalle condizioni inziali, ovvero dalla conoscenza di u(z0)= c0 e  u'(z0)= c1.
Se il punto all'infinito è fuchsiano la soluzione può essere espressa mediante la combinazione lineare: $$u(z)=C_1u_1(z)+C_2u_2(z$$ con C1 e C2 costanti arbitrarie da determinare mediante le condizioni iniziali. Le due soluzioni linearmente indipendenti u1(z) e u2(z) sono ancora sviluppabili in serie di potenze e hanno la forma: $$u_1(z)=z^{-\rho_1}\sum_{n=0}^{\infinity} c_n' z^{-n$$ $$u_2(z)=\begin{cases} z^{-\rho_2}\,\sum_{n=0}^{\infinity} c_n'' z^{-n}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad \rho_1-\rho_2\notinℤ\\ u_1(z)\,\ln\left(z\right)+ z^{-\rho_2}\sum_{n=0}^{\infinity} c_n'' z^{-n}\qquad\qquad\qquad \qquad \rho_1-\rho_2=0\\ C\,u_1(z)\,\ln\left(z\right)+ z^{-\rho_2}\sum_{n=0}^{\infinity} c_n'' z^{-n}\qquad\quad \qquad\qquad \rho_1-\rho_2 \in ℤ\end{cases}$$ con C diverso da zero. Gli esponenti ρ1 e ρ2 sono calcolati risolvendo l'equazione indiciale: $$\rho^2-\left(p_0-1\right)\rho+q_0=0 ⇒\rho^2-\left(2-1\right)\rho+q_0=0⇒\rho^2-\rho+q_0=0$$ Una volta individuate le due soluzioni u1(z) e u2(z)  i coefficienti ci possono essere ottenuti mediante sostituzione diretta delle serie che le rappresenta  nella ODE (1) ed uguagliando i coefficienti dei termini della stessa potenza. Questo metodo permette il calcolo di tutti i coefficienti eccetto c0 e c1. Questi due possono essere determinati dalle condizioni iniziali, ovvero dalla conoscenza di u(z0)= c0 e  u'(z0)= c1.
ORDINE DI POLIDROMIA
Una funzione è polidroma di ordine n rispetto ad un punto se compiendo almeno n+1 giri completi attorno ad esso la funzione ritorna al valore iniziale.
Quindi se si opera   la sostituzione $\left(z-z_0\right)⇒\left(z-z_0\right)e^{2n\pii}$ occorre che : $$u\left[\left(z-z_0\right)e^{2n\pii}\right]= u\left[\left(z-z_0\right)\right]$$ Per le funzioni logaritmo ciò non avviene mai e l'ordine di polidromia è infinito. Per le serie di potenze positive intere (punto regolare) avviene con qualsiasi n (anche n=0) e l'ordine di polidromia è zero (funzione monodroma). Per una potenza non intera ρ occorre imporre la condizione: $$2n\pii\cdot\rho=2k\pii⇒n\cdot\rho=k$$ e trovare per quale più piccolo  intero n è soddisfatta (con k intero e  diverso da 0).
ORDINE DEGLI ZERI
Un punto z=z0 è uno zero di ordine n se la funzione analitica può essere posta nella forma: $$f(z)=\left(z-z_0\right)^n\cdotg(z)$$ con g(z) una funzione analitica e non nulla in z=z0