INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI RAZIONALI

$f\left(x\right)=$$\frac{N\left(x\right)}{D\left(x\right)}=\frac{a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+.....+a_{1}x+a_0}{b_m{x}^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+......+b_{1}x+b_0}$

Se m, il grado del polinomio a numeratore, è maggiore di n, il grado del polinomio a denominatore, occorre procedere alla divisione tra polinomi. La funzione diventa una somma di un polinomio e di una frazione, in cui il grado del numeratore è inferiore al grado del denominatore.

$f\left(x\right)=$$\frac{N\left(x\right)}{D\left(x\right)}=Q\left(x\right)+\frac{R\left(x\right)}{D\left(x\right)}$

L'integrale di Q(x) non presenta alcuna difficoltà. Per integrare il rapporto $\frac{R\left(x\right)}{D\left(x\right)}$ (chiamata funzione razionale regolare) occorre considerare la natura del polinomio D(x).

Se si considera l'equazione D(x)=0 questa può avere radici reali distinte, reali multiple, complesse distinte, complesse multiple.

In generale, note le radici, il polinomio può essere fattorizzato come prodotti di binomi e trinomi:

$D\left(x\right)=a{\left(x-x_1\right)}^r·{\left(x-x_2\right)}^s·····{(x^2+\mathrm{\alpha x}+\beta )}^u·{(x^2+\mathrm{\gamma x}+\delta )}^v$

dove r, s, .... indicano la molteplicità delle radici reali o complesse x₁, x₂, ..... e u,v, .... indicano la molteplicità delle radici complesse.

Per esempio il polinomio : $x^9-3x^8+2x^7-4x^6+8x^5-2x^4+7x^3-5x^2-4$ può essere così fattorizzato : ${\left(x-2\right)}^2·\left(x-1\right)·\left(x^2+1\right)·{(x^2+x+1)}^2$

ci sono:

• una radice reale semplice x= 1 (molteplicità 1),
• una radice reale doppia x= 2 (molteplicità 2),
• due radici complesse semplici (coniugate) x= ±i,
• due radici complesse doppie $x=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$,
• due radici complesse doppie (coniugate delle precedenti) $x=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Se il polinomio a denominatore D(x) può essere fattorizzato allora la funzione razionale regolare può essere scomposta in una somma di elementi semplici che sono del tipo:

• $\frac{A}{x-x_1}$ dove x₁ è una radice reale semplice di D(x) (molteplicità 1)
• $\frac{A_1}{x-x_2}+\frac{A_2}{{\left(x-x_2\right)}^2}+\frac{A_3}{{\left(x-x_2\right)}^3}+.....+\frac{A_r}{{\left(x-x_2\right)}^r}$ dove x_r è una radice reale multipla di D(x) (molteplicità r)
• $\frac{A+\mathrm{Bx}}{x^2+\mathrm{\alpha x}+\beta }$ dove $x^2+\mathrm{\alpha x}+\beta$ è un trinomio di secondo grado con radici complesse coniugate
• $\frac{A_1+B_{1}x}{x^2+\mathrm{\alpha x}+\beta }+\frac{A_2+B_{2}x}{{(x^2+\mathrm{\alpha x}+\beta )}^2}+\frac{A_3+B_{3}x}{{(x^2+\mathrm{\alpha x}+\beta )}^3}+....+\frac{A_u+B_u}{{(x^2+\mathrm{\alpha x}+\beta )}^u}$ dove $x^2+\mathrm{\alpha x}+\beta$ è un trinomio di secondo grado con radici complesse coniugate

avendo prima posto a fattor comune il coefficiente del termine di grado più elevato a.

Consideriamo per esempio la funzione razionale : $\frac{x^4+4x^3+11x^2+12x+8}{x^5+5x^4+14x^3+22x^2+21x+9}$.

Il suo denominatore fattorizzato è: $D\left(x\right)=\left(x+1\right){(x^2+2x+3)}^2$e presenta una radice reale semplice e due radici complesse coniugate doppie.

La funzione razionale può essere scomposta negli elementi semplici: $\frac{x^4+4x^3+11x^2+12x+8}{x^5+5x^4+14x^3+22x^2+21x+9}=\frac{\mathrm{Ax}+B}{{(x^2+2x+3)}^2}+\frac{\mathrm{Cx}+D}{x^2+2x+3}+\frac{E}{x+1}$

Per trovare i coefficienti indeterminati A, B, C, D ecc. bisogna ricomporre la funzione razionale scomposta ed eguagliare il numeratore della funzione ricomposta e il numeratore della funzione originale.

Nell'esempio: $x^4+4x^3+11x^2+12x+8=\left(\mathrm{Ax}+B\right)\left(x+1\right)+\left(\mathrm{Cx}+D\right)(x^2+2x+3)+E{(x^2+2x+3)}^2$. Sviluppando ed eguagliando i coefficienti si trova: A=1, B= -1, C= 0, D= 0, E= 1.

Si arriva così a dover risolvere quattro tipi di integrali detti integrali degli elementi semplici:

1. Integrali del tipo: ${\int }_{}^{}\frac{A}{x-x_1}\mathrm{dx}$

   È quasi un integrale immediato: ${\int }_{}^{}\frac{A}{x-x_1}\mathrm{dx}=A·\ln \mid x-x_1\mid +c$

2. Integrali del tipo: ${\int }_{}^{}\frac{A}{{\left(x-x_1\right)}^n}\mathrm{dx}$

   È quasi un integrale immediato: ${\int }_{}^{}\frac{A}{{\left(x-x_1\right)}^n}\mathrm{dx}=\frac{A}{1-n}·\frac{1}{{\left(x-x_1\right)}^{n-1}}+c$

3. Integrali del tipo: ${\int }_{}^{}\frac{\mathrm{Ax}+B}{x^2+\mathrm{\alpha x}+\beta }\mathrm{dx}$ con Δ < 0
   • Impostare l'uguaglianza: $\mathrm{Ax}+B=p\left(2x+\alpha \right)+q$ (in modo far apparire nel numeratore la derivata del denominatore)
   • Trovare A e B dal confronto: $\{\begin{array}{c}A=2p\\ \mathrm{p\alpha }+q=B\end{array}\to p=\frac{A}{2}$ e $q=B-\frac{\mathrm{A\alpha }}{2}$
   • Semplificare l'integrale: ${\int }_{}^{}\frac{\mathrm{Ax}+B}{x^2+\mathrm{\alpha x}+\beta }\mathrm{dx}=p{\int }_{}^{}\frac{2x+\alpha }{x^2+\mathrm{\alpha x}+\beta }\mathrm{dx}+q{\int }_{}^{}\frac{1}{x^2+\mathrm{\alpha x}+\beta }\mathrm{dx}$
   • La soluzione del primo integrale è: ${\int }_{}^{}\frac{2x+\alpha }{x^2+\mathrm{\alpha x}+\beta }\mathrm{dx}={\int }_{}^{}\frac{1}{t}\mathrm{dt}=\ln \mid t\mid +c=\ln \mid x^2+\mathrm{\alpha x}+\beta \mid +c$ utilizzando la sostituzione: t= $x^2+\mathrm{\alpha x}+\beta$
   • Per il secondo integrale porre: $x^2+\mathrm{\alpha x}+\beta ={\left(x+m\right)}^2+n^2=x^2+2m·x+m^2+n^2$
   • Trovare m ed n dal confronto: $\{\begin{array}{c}2m=\alpha \\ m^2+n^2=\beta \end{array}\to m=\frac{\alpha }{2}$ e $n^2=\beta -m^2\to n=\sqrt{\beta -m^2}=\sqrt{\beta -\frac{{\alpha }^2}{4}}$
   • La soluzione del secondo integrale: ${\int }_{}^{}\frac{1}{x^2+\mathrm{\alpha x}+\beta }\mathrm{dx}={\int }_{}^{}\frac{1}{{\left(x+m\right)}^2+n^2}\mathrm{dx}=\frac{1}{n}·\arctan \left(\frac{x+m}{n}\right)+c$
4. Integrali del tipo: ${\int }_{}^{}\frac{\mathrm{Ax}+B}{{(x^2+\mathrm{\alpha x}+\beta )}^u}\mathrm{dx}$
   • Impostare l'uguaglianza: $\mathrm{Ax}+B=p\left(2x+\alpha \right)+q$ (in modo far apparire nel numeratore la derivata del denominatore)
   • Trovare A e B dal confronto: $\{\begin{array}{c}A=2p\\ \mathrm{p\alpha }+q=B\end{array}\to p=\frac{A}{2}$ e $q=B-\frac{\mathrm{A\alpha }}{2}$
   • Semplificare l'integrale: ${\int }_{}^{}\frac{\mathrm{Ax}+B}{{(x^2+\mathrm{\alpha x}+\beta )}^u}\mathrm{dx}=p{\int }_{}^{}\frac{2x+\alpha }{{(x^2+\mathrm{\alpha x}+\beta )}^u}\mathrm{dx}+q{\int }_{}^{}\frac{1}{{(x^2+\mathrm{\alpha x}+\beta )}^u}\mathrm{dx}$
   • La soluzione del primo integrale è: ${\int }_{}^{}\frac{2x+\alpha }{{(x^2+\mathrm{\alpha x}+\beta )}^u}\mathrm{dx}={\int }_{}^{}\frac{\mathrm{dt}}{t^n}=\frac{1}{1-u}·t^{1-u}+c=-\frac{1}{u-1}·\frac{1}{{(x^2+\mathrm{\alpha x}+\beta )}^{u-1}}+c$ utilizzando la sostituzione: t= $x^2+\mathrm{\alpha x}+\beta$
   • Per il secondo integrale porre: $x^2+\mathrm{\alpha x}+\beta ={\left(x+m\right)}^2+n^2=x^2+2m·x+m^2+n^2$
   • Trovare m ed n dal confronto: $\{\begin{array}{c}2m=\alpha \\ m^2+n^2=\beta \end{array}\to m=\frac{\alpha }{2}$ e $n^2=\beta -m^2\to n=\sqrt{\beta -m^2}=\sqrt{\beta -\frac{{\alpha }^2}{4}}$
   • La soluzione del secondo integrale: ${\int }_{}^{}\frac{1}{{(x^2+\mathrm{\alpha x}+\beta )}^u}\mathrm{dx}={\int }_{}^{}\frac{1}{{({\left(x+m\right)}^2+n^2)}^u}\mathrm{dx}$

     Ora si opera la sostituzione: $x+m=\mathrm{nt}\to \mathrm{dx}=n·\mathrm{dt}$.${\int }_{}^{}\frac{1}{{(x^2+\mathrm{\alpha x}+\beta )}^u}\mathrm{dx}={\int }_{}^{}\frac{n\mathrm{dt}}{{(n^2{t}^2+n^2)}^u}=\frac{n}{n^{2u}}{\int }_{}^{}\frac{\mathrm{dt}}{{(t^2+1)}^u}=\frac{1}{n^{2u-1}}{\int }_{}^{}\frac{\mathrm{dt}}{{(t^2+1)}^u}$

     L'integrale del tipo ${\int }_{}^{}\frac{\mathrm{dt}}{{(t^2+1)}^u}$ si risolve per ricorrenza integrando per parti. Infatti si può provare che, in generale:

     ${\int }_{}^{}\frac{\mathrm{dt}}{{(t^2+1)}^u}=\frac{t}{2\left(u-1\right){\left(1+t^2\right)}^{u-1}}+\frac{2u-3}{2u-2}·{\int }_{}^{}\frac{\mathrm{dt}}{{(t^2+1)}^{u-1}}$

     Alla fine si arriva a calcolare un integrale del tipo ${\int }_{}^{}\frac{1}{1+t^2}\mathrm{dt}=\arctan t+c$