LIMITI NOTEVOLI
l
i
m
x
→
0
s
i
n
⁡
(
x
)
x
=
1
l
i
m
x
→
∞
(
1
+
1
x
)
x
=
e
l
i
m
x
→
+
∞
l
n
⁡
(
x
)
x
a
=
0
(
a
>
0
)
Dall'osservazione che :
e
x
>
x
+
1
si ricava:
l
n
⁡
(
e
x
)
>
l
n
(
x
+
1
)
>
l
n
⁡
(
x
)
dato che la funzione logaritmo è crescente. Quindi
x
⋅
l
n
⁡
(
e
)
>
l
n
⁡
(
x
)
⇒
x
>
l
n
⁡
(
x
)
.
Dato un h tale che 0<h<a è valida la disuguaglianza:
x
h
>
h
·
l
n
⁡
(
x
)
(se a>b allora
a
n
>
n
⋅
b
). Dividendo ambo i membri con
x
a
si ottiene:
x
h
x
a
>
h
⋅
l
n
⁡
(
x
)
x
a
⇒
1
x
a
-
h
>
h
⋅
l
n
⁡
(
x
)
x
a
⇒
1
h
⋅
1
x
a
-
h
>
l
n
⁡
(
x
)
x
a
ma poichè 0<h<a deve essere a - h > 0.
Ora:
l
i
m
x
→
+
∞
1
h
⋅
1
x
a
-
h
=
0
e
l
n
⁡
(
x
)
x
a
>
0.
Applicando
il teorema del confronto si deduce il limite notevole.
l
i
m
x
→
+
∞
a
x
x
b
=
∞
(
a
>
1
∧
b
>
0
)