NOTE SULLE
DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ
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VARIABILI ALEATORIE
DISCRETE
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- Variabile aleatoria discreta. Una variabile
aleatoria discreta x è una variabile che può assumere i
valori x1, x2, ....,xn
corrispondenti a eventi aleatori E1, E2,
...... , En incompatibili tale che ad ognuno
dei valori è possibile associare una probabilità pk
= pk(xk) con 0 ≤ pk ≤
1.
-
Distribuzione di probabilità.
Una distribuzione di probabilità è una relazione che
associa ai valori x1, x2, ....,xn
(corrispondenti a eventi aleatori E1, E2,
...... , En incompatibili) di una
variabile aleatoria dei valori di probabilità pk
= pk(xk) con 0 ≤ pk ≤
1.
-
Funzione di ripartizione.
Una funzione di ripartizione di una variabile
aleatoria x è una funzione F(x) che fornisce la
probabilità che x assuma un valore non superiore ad un
valore scelto x:
-
Valore medio. Data la
variabile aleatoria discreta x che può assumere
i valori x1, x2, ....,xn
corrispondenti a eventi aleatori E1, E2,
...... , En incompatibili tale che ad
ognuno dei valori è possibile associare una
probabilità pk = pk(xk)
con 0 ≤ pk ≤ 1, il valore medio µ è la
somma dei prodotti di ogni valore assunto dalla
variabile aleatoria per la corrispondente probabilità:
- Speranza matematica. La speranza matematica M è
valore medio corrispondente a tutti i
possibili valori che può assumere una variabile
aleatoria discreta.
-
Varianza. Data una
distribuzione di probabilità associata ad una
variabile aleatoria discreta x con valore medio µ, la
varianza σ²(x) è il valore medio della variabile
aleatoria "quadrato dello scarto dalla media":
σ²
- Deviazione standard. La deviazione standard (o
scarto quadratico medio) σ(x) è la radice quadrata
della varianza.
- Variabile aleatoria centrata. Data una
distribuzione di probabilità, una variabile aleatoria
centrata xc è la differenza xc= x
- µ.
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DISTRIBUZIONI
DISCRETE
- Definizione. Una variabile aleatoria
discreta i cui valori sono associati a
probabilità determinate da:
segue
una Distribuzione Geometrica . Essa rappresenta la
probabilità di ottenere un risultato favorevole su
un processo di n prove in cui sono possibili solo
una probabilità p di accadimento e una probabilità
q= 1 - p di fallimento
- Valore medio: µ= 1/p
- Varianza: σ²= (1-p)/p²
- Definizione. Una variabile aleatoria
discreta i cui valori sono associati a
probabilità determinate da:
segue
una Distribuzione Binomiale (n è il
numero delle possibili variabili aleatorie
discrete). Rappresenta x risultati favorevoli di un
processo di n prove in cui sono possibili solo una
probabilità p di accadimento e una probabilità q= 1
- p di fallimento.
- Valore medio: µ= n·p
- Varianza: σ²= n·p·(1-p)
- Distribuzione di Poisson
- Definizione. Una variabile aleatoria
discreta i cui valori sono associati a
probabilità determinate da:
con a= n·p, segue una Distribuzione di
Poisson (n è il numero delle possibili
variabili aleatorie discrete). Rappresenta un
processo binomiale in cui il numero di prove è
elevato ed è piccola la probabilità p di
accadimento. Si sa che mediamente si verificano a
risultati favorevoli
- Valore medio: µ= n·p= a
- Varianza: σ²= n·p= a
- Distribuzione Ipergeometrica
- Definizione. Rappresenta
una variabile aleatoria
discreta i cui valori x favorevoli di un
processo di n prove sono possibili solo
una probabilità p di accadimento e una
probabilità q= 1 - p di fallimento e in più i
valori x favorevoli non sono ripetibili
(campionamento senza ripetizioni o prove
ripetute senza reinmissione).
; m è il numero dei possibili
valori, n è il numero delle prove, x è il
numero prove favorevoli, v numero di valori
favorevoli.
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VARIABILI ALEATORIE
CONTINUE
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- Variabile aleatoria continua. Una variabile
aleatoria continua è una variabile numerica che può
assumere tutti i valori reali contenuti in un intervallo
reale.
- Probabilità per una variabile aleatoria continua
p(x1≤x≤x2). Probabilità che
la variabile aleatoria x cada entro l'intervallo [x1;x2].
-
Funzione densità di probabilità.
La densità di probabilità è una funzione f(x) di una
variabile aleatoria continua tale che e con la condizione :
-
Funzione di ripartizione. Una
funzione di ripartizione di una variabile aleatoria x
continua è una funzione F(x) che fornisce la
probabilità che x assuma un valore non superiore ad un
valore scelto x:
.
Si ricava che:
e che
- Valor medio.
- Varianza.
- Deviazione standard. La deviazione standard (o
scarto quadratico medio) σ(x) è la radice quadrata
della varianza.
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DISTRIBUZIONI
CONTINUE
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- Definizione. Una variabile aleatoria
continua che segue una distribuzione la cui
densità di probabilità è costante entro un certo
intervallo [a; b] segue una distribuzione uniforme.
Dalla definizione di funzione densità di probabilità
si ricava: : f(x)
- Distribuzione normale gaussiana
-
Definizione. Una
variabile aleatoria continua che segue una
distribuzione la cui densità di probabilità è ,
segue una distribuzione normale gaussiana. È
distribuzione di probabilità di un processo
caratterizzato da fenomeni casuali a valori reali
che tendono a concentrarsi attorno a un valore
medio. In generale se il numero di variabili
aleatorie è molto grande tutte tendono a
distribuirsi in modo gaussiano (Teorema del limite
centrale).
- f(x) è simmetrica rispetto alla retta x= m
- f(x) ha massimo in corrispondenza del punto
- f(x) presenta due punti di flesso in
corrispondenza di m - σ e m + σ
- f(x) ha asse delle ascisse asintoto orizzontale
- Il valore medio della distribuzione è m
- La deviazione standard della distribuzione è σ
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