NOTE SULLE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ



VARIABILI ALEATORIE DISCRETE



  • Variabile aleatoria discreta. Una variabile aleatoria discreta x è una variabile che può assumere i valori x1, x2, ....,xn corrispondenti a eventi aleatori E1, E2, ...... , En incompatibili tale che ad ognuno dei valori è possibile associare una probabilità pk = pk(xk) con 0 ≤ pk ≤ 1.
  • Distribuzione di probabilità. Una distribuzione di probabilità è una relazione che associa ai valori x1, x2, ....,xn (corrispondenti a eventi aleatori E1, E2, ...... , En incompatibili) di una variabile aleatoria dei valori di probabilità  pk = pk(xk) con 0 ≤ pk ≤ 1.
  • Funzione di ripartizione. Una funzione di ripartizione di una variabile aleatoria x è una funzione F(x) che fornisce la probabilità che x assuma un valore non superiore ad un valore scelto x:   F( x i )=p( x x i )= i=1 k p i
  • Valore medio. Data la variabile aleatoria discreta x  che può assumere i valori x1, x2, ....,xn corrispondenti a eventi aleatori E1, E2, ...... , En incompatibili tale che ad ognuno dei valori è possibile associare una probabilità pk = pk(xk) con 0 ≤ pk ≤ 1, il valore medio µ è la somma dei prodotti di ogni valore assunto dalla variabile aleatoria per la corrispondente probabilità: μ = i=1 k x i p i 
  • Speranza matematica. La speranza matematica M è valore medio corrispondente a  tutti  i possibili valori che può assumere una variabile aleatoria discreta.
  • Varianza. Data una distribuzione di probabilità associata ad una variabile aleatoria discreta x con valore medio µ, la varianza σ²(x) è il valore medio della variabile aleatoria "quadrato dello scarto dalla media":   σ²(x)= i=1 k ( x i - μ ) 2 p i 
  • Deviazione standard. La deviazione standard (o scarto quadratico medio)  σ(x) è la radice quadrata della varianza.
  • Variabile aleatoria centrata. Data una distribuzione di probabilità, una variabile aleatoria centrata xc è la differenza xc= x - µ.



DISTRIBUZIONI DISCRETE

  • Distribuzione Geometrica
    • Definizione. Una variabile aleatoria discreta i cui valori sono associati a probabilità  determinate da: p(x)= p  (1-p)  x-1    segue una Distribuzione Geometrica . Essa rappresenta la probabilità di ottenere un risultato favorevole su un processo di n prove in cui sono possibili solo una probabilità p di accadimento e una probabilità q= 1 - p di fallimento
    • Valore medio: µ= 1/p
    • Varianza: σ²= (1-p)/p²

  • Distribuzione Binomiale
    • Definizione. Una variabile aleatoria discreta i cui valori sono associati a probabilità  determinate da: p(x)=( n x ) p x (1-p) n-x segue una Distribuzione Binomiale  (n è  il numero delle possibili variabili aleatorie discrete). Rappresenta x risultati favorevoli di un processo di n prove in cui sono possibili solo una probabilità p di accadimento e una probabilità q= 1 - p di fallimento.
    • Valore medio: µ= n·p
    • Varianza: σ²= n·p·(1-p)

  • Distribuzione di Poisson
    • Definizione. Una variabile aleatoria discreta i cui valori sono associati a probabilità  determinate da: p(x)= a x x! e -a   con a= n·p,  segue una Distribuzione di Poisson  (n è  il numero delle possibili variabili aleatorie discrete). Rappresenta un processo binomiale in cui il numero di prove è elevato ed è piccola la probabilità p di accadimento. Si sa che mediamente si verificano a risultati favorevoli
    • Valore medio: µ= n·p= a
    • Varianza: σ²= n·p= a
  • Distribuzione Ipergeometrica
    • Definizione. Rappresenta una variabile aleatoria discreta i cui valori x  favorevoli di un processo di n prove  sono possibili solo una probabilità p di accadimento e una probabilità q= 1 - p di fallimento e in più i valori x favorevoli non sono ripetibili (campionamento senza ripetizioni o prove ripetute senza reinmissione).  p(X=x) = ( v x )( m-v n-x ) ( m n )   ;  m è il numero dei possibili valori,  n è il numero delle prove, x è il numero prove favorevoli, v numero di valori favorevoli.



VARIABILI ALEATORIE CONTINUE



  • Variabile aleatoria continua. Una variabile aleatoria continua è una variabile numerica che può assumere tutti i valori reali contenuti in un intervallo reale.
  • Probabilità per una variabile aleatoria continua p(x1≤x≤x2). Probabilità che la variabile aleatoria x cada entro l'intervallo [x1;x2].
  • Funzione densità di probabilità. La densità di probabilità è una funzione f(x) di una variabile aleatoria continua tale che p( x 1 x x 2 )= x 1 x 2 f(x) x  e con la condizione : - + f(x) x =1
  • Funzione di ripartizione. Una funzione di ripartizione di una variabile aleatoria x continua è una funzione F(x) che fornisce la probabilità che x assuma un valore non superiore ad un valore scelto x:  F( x )=p( x x Ż )= - x Ż f(t) t   . 
Si  ricava che:     F'(x)= lim x0 F( x+x )-F(x) x = lim x0 - x+x f(t) t - - x f(t) t x = lim x0 - x f(t) t + x x+x f(t)dt- - x f(t) t x = lim x0 x x+x f(t) t x =f(x)
e che p( x 1 x x 2 )=F( x 2 )-F( x 1 )
  • Valor medio.  m= - + xf(x) x 
  • Varianza σ² (x)= - + f(x)[ x-m] 2 x 
  • Deviazione standard. La deviazione standard (o scarto quadratico medio)  σ(x) è la radice quadrata della varianza.

DISTRIBUZIONI CONTINUE


  • Distribuzione uniforme
  • Definizione. Una variabile aleatoria continua che segue una  distribuzione la cui densità di probabilità è costante entro un certo intervallo [a; b] segue una distribuzione uniforme. Dalla definizione di funzione densità di probabilità si ricava:  : f(x) ={ 0 x<ax>b 1 b-a axb
  • Distribuzione normale gaussiana
    • Definizione. Una variabile aleatoria continua che segue una  distribuzione la cui densità di probabilità è f(x)= 1 σ 2 π e - (x-m ) 2 2 σ 2 , segue una distribuzione normale gaussiana. È distribuzione di probabilità di un processo caratterizzato da fenomeni casuali a valori reali che tendono a concentrarsi attorno a un valore medio. In generale se il numero di variabili aleatorie è molto grande tutte tendono a distribuirsi in modo gaussiano (Teorema del limite centrale).
    • Proprietà.
      • f(x) è simmetrica rispetto alla retta x= m
      • f(x) ha massimo in corrispondenza del punto ( m, 1 σ 2 π ) 
      • f(x) presenta due punti di flesso in corrispondenza di m - σ e m + σ
      • f(x) ha asse delle ascisse asintoto orizzontale
      • Il valore medio della distribuzione è m
      • La deviazione standard della distribuzione è σ