Una sbarra omogenea, di sezione costante, di lunghezza L= 0.5 m e massa M= 3 Kg, è incernierata in A. La sbarretta è portata in posizione orizzontale e poi lasciata libera senza velocità iniziale. Raggiunta la posizione verticale, la sbarra urta elasticamente in C una sfera di massa m= 0.5 Kg. Determinare :
  1. la velocità angolare della sbarra prima dell'urto;
  2. la velocità angolare della sbarra dopo l'urto;
  3. la velocità acquistata dalla sfera in seguito all'urto. ( Si trascurino gli attriti)



a. Applicazione del Principio di Conservazione dell'Energia Meccanica (il centro di massa cade di L/2) :

MgL = Mg · L 2 + 1 2 I A ω i 2 ⇒ Mg · L 2 = 1 2 · M L 2 3 · ω i 2 ⇒ ω i = 3 g L = 3 · 9.8 0.5 ≃ 7.7 rad/s

bc. Non è possibile applicare il Principio di Conservazione della Quantità di Moto perchè sul sistema massa-sbarra agisce la forza esterna dovuta alla cerniera in A. È possibile applicare la Conservazione dell'Energia Cinetica perchè l'urto è elastico e la Conservazione del Momento Angolare perchè la forza esterna non produce momento torcente esterno:

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{ 1 2 I A ω i 2 = 1 2 I A ω f 2 + 1 2 m v 2 I A ω i = I A ω f + mv L ⇒ { M L 2 3 · ω i 2 = M L 2 3 · ω f 2 + m v 2 M L 2 3 ω i = M L 2 3 ω f + mv L ⇒ { M L 2 3 ( ω i 2 − ω f 2 ) = m v 2 M L 2 3 · ( ω i − ω f ) = mv L ⇒ { M L 2 3 · ( ω i − ω f ) ( ω i + ω f ) = m v 2 M L 2 3 · ( ω i − ω f ) = mv L

Dividendo, membro a membro, le due equazioni trovate si ha: ω i + ω f = v L ⇒ v = ( ω i + ω f ) L . Questa è una equazione lineare che permette di trovare, insieme a quella prodotta dall'applicazione del Principio di Conservazione del Momento Angolare, la velocità angolare dopo l'urto della sbarra e la velocità lineare dopo l'urto della sfera:

M L 2 3 · ( ω i − ω f ) = mL · ( ω i + ω f ) L ⇒ M 3 ω i − M 3 ω f = m ω i − m ω f ⇒ ( M 3 − m ) ω i = − ( M 3 + m ) ω f ⇒ ω f = − M 3 − m M 3 + m · ω i = − 3 3 − 0.5 3 3 + 0.5 · 3 · 9.8 0.5 ≃ 2.6 rad/s

v = ( ω i + ω f ) · L ≃ ( 7.7 + 2.6 ) · 0.5 = 5.1 m/s