Conservazione del Momento Angolare N° 11

L'urto è completamente anelastico ma, per effetto del vincolo nell'asse di rotazione, solo il momento angolare si conserva e non la quantità di moto.

Inizialmente la sbarretta ha momento angolare nullo rispetto all'asse di rotazione perché è nullo il braccio. Solo il disco contribuisce al momento angolare iniziale.

Dopo l'urto disco e sbarretta insieme ruotano attorno l'asse di rotazione. Occorre però calcolare il momento di inerzia del sistema sbarretta-disco. Basta sommarli, ma per il disco rispetto all'asse di rotazione il momento di inerzia rimane lo stesso invece per la sbarretta occorre calcolarlo rispetto all'asse di rotazione applicando il Teorema di Steiner.

L_{i} = L_{f} \Rightarrow I_{D} ω_{i} = (I_{D} + I_{S}) ω_{f} \Rightarrow ω_{f} = \frac{I_{D}}{I_{D} + I_{S}} ω_{i}

$I_{D} = \frac{m R^{2}}{2}$
$I_{S} = \frac{m R^{2}}{12} + m {(R + \frac{R}{2})}^{2} = \frac{m R^{2}}{12} + m {(\frac{3}{2} R)}^{2} = (\frac{1}{12} + \frac{9}{4}) m R^{2} = \frac{28}{12} m R^{2} = \frac{7}{3} m R^{2}$ . Il centro di massa della sbarretta dista R + R/2 dall'asse di rotazione.

Mettendo tutto insieme:

ω_{f} = \frac{I_{D}}{I_{D} + I_{S}} ω_{i} = \frac{\frac{m R^{2}}{2}}{\frac{m R^{2}}{2} + \frac{7}{3} m R^{2}} ω_{i} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + \frac{7}{3}} ω_{i} = \frac{3}{17} ω_{i} ≃ 7.06 r a d / s

Se il disco è libero di muoversi si conserva anche la quantità di moto e la velocità del centro di massa sistema sbarretta-disco dopo l'urto si ricava applicando il Principio di Conservazione della Quantità di moto:

p_{i} = p_{f} \Rightarrow m v_{i} = (m + m) v_{f} \Rightarrow v_{f} = \frac{m}{2 m} v_{i} = 2 m / s

La velocità angolare attorno il centro di massa si ricava applicando il Principio di Conservazione del Momento Angolare.
Il problema principale è il calcolo del momento di inerzia dopo l'urto perchè occorre riferirli al centro di massa del sistema.
Per il calcolo del centro di massa del sistema si osservi la figura.
Scelto un asse con origine nel centro di massa della sbarretta, il centro di massa del sistema sbarretta-disco si calcola con la formula:

x_{C M} = \frac{m {\cdot x}_{d} + m {\cdot x}_{s b}}{m_{d} + m_{s b}} = \frac{m \cdot \frac{3}{2} R + m \cdot 0}{m + m} = \frac{3}{4} R = 7.5 c m

A questo punto si può procedere ad applicare il Principio di Conservazione del Momento Angolare:

L_{i} = L_{f} \Rightarrow I_{D i} ω_{i} = (I_{D f} + I_{S}) ω_{f} \Rightarrow ω_{f} = \frac{I_{D i}}{I_{D f} + I_{S}} ω_{i}

Poichè inizialmente il disco ruota attorno il suo asse il momento angolare iniziale si deve calcolare per il disco che ruota attorno il suo asse.

Calcolo dei mementi di inerzia:

Disco: $I_{Df} = \frac{m R^{2}}{2} + m {(\frac{3}{4} R)}^{2} = \frac{17}{16} {m R}^{2}$
Sbarretta: $I_{S} = \frac{m R^{2}}{12} + m {(\frac{3}{4} R)}^{2} = (\frac{1}{12} + \frac{9}{16}) m R^{2} = \frac{31}{48} m R^{2}$

Mettendo tutto insieme:

ω_{f} = \frac{I_{D i}}{I_{D f} + I_{S}} ω_{i} = \frac{\frac{1}{2} m R^{2}}{\frac{17}{16} m R^{2} + \frac{31}{48} m R^{2}} ω_{i} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{17}{16} + \frac{31}{48}} ω_{i} = \frac{24}{51 + 31} ω_{i} = \frac{24}{82} ω_{i} ≃ 11.7 r a d / s