N°2 MOMENTO ANGOLARE

Per un punto materiale il momento angolare è: L= m·v·r= 0.005·200·0.5= 0.5 kgm²/s

L'urto è completamente anelastico e, per quanto riguarda il momento angolare, il sistema è isolato. Bisogna fare attenzione che il momento di inerzia dopo l'urto è dato dalla somma del momento d'inerzia dell'asta rispetto al perno e il momento d'inerzia del proiettile sempre rispetto al perno:

$L_{i} = L_{f} \Rightarrow m v l = I_{f} ω_{f} \Rightarrow m v l = (m l^{2} + \frac{M l^{2}}{3}) ω_{f} \Rightarrow ω_{f} = \frac{3 m v}{3 m l + M l} = \frac{3 \cdot 0.005 \cdot 200}{3 \cdot 0.005 \cdot 0.5 + 1 \cdot 0.5} = 5.91 r a d / s$

Basta applicare il Principio di Conservazione dell'Energia Meccanica:

$U_{f} = K_{i} \Rightarrow (m + M) g h = \frac{1}{2} I_{f} ω_{f}^{2} \Rightarrow (m + M) g h = \frac{1}{2} (m l^{2} + \frac{M l^{2}}{3}) ω_{f}^{2} \Rightarrow h = \frac{(3 m + M) l^{2}}{6 (m + M) g} ω_{f}^{2} = \frac{(3 \cdot 0.005 + 1) \cdot 0. 5^{2}}{6 (0.005 + 1) \cdot 9.8} 5.9 1^{2} ≃ 0.15 m$

Questa è l'altezza a cui arriva il centro di massa del sistema asta-proiettile. Considerando che, in questo caso, il proiettile è molto leggero si può assumere che il centro di massa del sistema coincida con il centro di massa dell'asta.

Osservando la figura l'angolo θ può essere ricavato facilmente:

$θ = a r c c o s (\frac{\bar{O A}}{\bar{O C M_{2}}}) = a r c c o s (\frac{\bar{O C M_{1}} - \bar{A C M_{1}}}{\bar{O C M_{2}}}) = a r c c o s (\frac{\frac{l}{2} - h}{\frac{l}{2}}) = a r c c o s (\frac{0.25 - 0.15}{0.25}) ≃ 66 °$