N. 3 MOMENTO ANGOLARE

La palla arriva sull'asse con una velocità:

v_{i} = \sqrt{2 g h}

Nell'urto occorre imporre la conservazione del momento angolare visto che l'asse si metterà a ruotare: $m v_{i} \cdot \frac{l}{2} = I ω - m v_{f} \cdot \frac{l}{2}$ (1)

Per chiudere il problema occorre imporre la condizione di conservazione dell'energia cinetica negli urti elastici:

\frac{1}{2} m v_{i}^{2} = \frac{1}{2} I ω^{2} + \frac{1}{2} m v_{f}^{2}

(2) Utilizziamo la (1) per ricavare ω:

\frac{M}{12} l^{2} \cdot ω = m \cdot (v_{i} + v_{f}) \cdot \frac{l}{2} \to ω = \frac{6 m}{M l} \cdot (v_{i} + v_{f})

Sostituiamo nella (2):

m v_{i}^{2} = \frac{M l^{2}}{12} \cdot {[\frac{6 m}{M l} \cdot (v_{i} + v_{f})]}^{2} + m v_{f}^{2} \to m v_{i}^{2} = \frac{M l^{2}}{12} \cdot {\frac{36 m^{2}}{M^{2} l^{2}} \cdot (v_{i} + v_{f})}^{2} + m v_{f}^{2}

\to v_{i}^{2} = \frac{3 m}{M} \cdot (v_{i}^{2} + v_{f}^{2} + 2 v_{i} \cdot v_{f}) + v_{f}^{2} \to v_{i}^{2} = \frac{3 m}{M} \cdot v_{i}^{2} + {\frac{3 m}{M} \cdot v}_{f}^{2} + \frac{6 m}{M} \cdot v_{i} \cdot v_{f} + v_{f}^{2} \to {(1 - \frac{3 m}{M}) \cdot v}_{i}^{2} = (1 + \frac{3 m}{M}) \cdot v_{f}^{2} + \frac{6 m}{M} \cdot v_{i} \cdot v_{f} \to

\to (1 + \frac{3 m}{M}) \cdot v_{f}^{2} + \frac{6 m}{M} \cdot v_{i} \cdot v_{f} - (1 - \frac{3 m}{M}) \cdot v_{i}^{2} = 0 \to v_{f} = \frac{- \frac{3 m}{M} v_{i} \pm \sqrt{\frac{9 m^{2}}{M^{2}} v_{i}^{2} + (1 + \frac{3 m}{M}) \cdot (1 - \frac{3 m}{M}) v_{i}^{2}}}{(1 + \frac{3 m}{M})}

\to v_{f} = \frac{- \frac{3 m}{M} v_{i} \pm \sqrt{\frac{9 m^{2}}{M^{2}} v_{i}^{2} + (1 - \frac{9 m^{2}}{M^{2}}) v_{i}^{2}}}{(1 + \frac{3 m}{M})} \to

\to v_{f} = \frac{- \frac{3 m}{M} \pm \sqrt{\frac{9 m^{2}}{M^{2}} + 1 - \frac{9 m^{2}}{M^{2}}}}{(1 + \frac{3 m}{M})} v_{i} \to v_{f} = \frac{- \frac{3 m}{M} \pm 1}{(1 + \frac{3 m}{M})} v_{i} \to v_{f} = \frac{1 - \frac{3 m}{M}}{(1 + \frac{3 m}{M})} v_{i}

(il segno negativo è il caso di asse con massa infinita).
Con i dati del problema:

v_{f} = \frac{1 - \frac{3 m}{M}}{(1 + \frac{3 m}{M})} v_{i} = \frac{1 - \frac{3 m}{M}}{(1 + \frac{3 m}{M})} \cdot \sqrt{2 g h} = \frac{1 - \frac{3 \cdot 1}{10}}{(1 + \frac{3 \cdot 1}{10})} \cdot \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 1} \approx 0.28 m / s