N°4 MOMENTO ANGOLARE

Una pedana a forma di disco circolare, di massa M = 250 kg e raggio R = 10 m, ruota senza attrito in un piano orizzontale intorno ad un asse che passa per il centro, con velocità angolare costante ω = 0.1 rad/s. Un uomo che si trova in A al di fuori della pedana salta sul bordo di essa nella direzione AO senza scivolare. Cammina poi senza scivolare fino a raggiungere il centro O. La massa dell'uomo sia m = 75 Kg. Calcolare : la velocità angolare della pedana quando l'uomo si trova sul bordo; il lavoro fatto dall'uomo per portarsi dal bordo a O. Si trascuri il momento di inerzia dell'uomo attorno al suo asse baricentrico verticale.

La velocità angolare della pedana quando l'uomo si trova sul bordo si ricava con la Conservazione del Momento Angolare del sistema pedana-uomo:

$I_{p} \cdot ω_{i} = (I_{p} + I_{u}) \cdot ω_{f} \Rightarrow ω_{f} = \frac{I_{p} \cdot ω_{i}}{I_{p} + I_{u}} = \frac{\frac{M R^{2}}{2}}{\frac{M R^{2}}{2} + m R^{2}} \cdot ω_{i} = \frac{250 \cdot 10^{2}}{250 \cdot 10^{2} + 2 \cdot 75 \cdot 10^{2}} \cdot 0.1 = 0.0625$ rad/s

Quando l'uomo si porta dal bordo ad O la velocità angolare ritorna ad essere 0.1 rad/s. Per produrre questa variazione di energia cinetica occorre che l'uomo faccia del lavoro sul sistema. Il suo contributo meccanico sarà data da:

$W = K_{f} - K_{i} = \frac{1}{2} I_{p} ω_{i}^{2} - \frac{1}{2} (I_{p} + I_{u}) ω_{f}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{M R^{2}}{2} \cdot ω_{i}^{2} - \frac{1}{2} \cdot (\frac{M R^{2}}{2} + m R^{2}) \cdot ω_{f}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{250 \cdot 10^{2}}{2} \cdot {0.1}^{2} - \frac{1}{2} \cdot (\frac{250 \cdot 10^{2}}{2} + 75 \cdot 10^{2}) \cdot {0.0625}^{2} ≃ 23$ J

Questo contributo è positivo per il sistema piattaforma-uomo: nello spostarsi verso il centro l'uomo si è stancato un pò perchè su di lui agiva la forza centrifuga.