In un centro commerciale due scale mobili salgono una di fronte all'altra dalle estremità opposte del piano terra con lo stesso angolo di inclinazione α rispetto al terreno, e con velocità uguali in modulo. Le due scale mobili si incrociano come nella figura. Due persone S₁ e S₂, ferme, stanno salendo contemporaneamente su ciascuna delle scale mobili, mentre una terza T è ferma al piano terra. Sia S₁ che T vedono muoversi S₂ a 2.0 m/s.

1. Applica le trasformazioni di Galileo per la velocità, e imposta la relazione vettoriale che esprime la velocità di S₂ rispetto a T.
2. Quanto vale l'angolo di inclinazione delle scale mobili ?

Chiamiamo la persona T sistema O (fermo rispetto gli altri), la persona S2 punto materiale in moto P e la persona S1 sistema in moto relativo O'. Le trasformazioni delle velocità di Galileo sono: $$\vec{v}=\overrightarrow{v\text{'}}+\overrightarrow{v_{\mathit{rel}}}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{v}_x=v_x\text{'}+v_{\mathit{xrel}}\\ v_y=v_y\text{'}+v_{\mathit{yrel}}\end{array}$$ Nel nostro problema i moduli di v e vrel sono uguali perchè le scale salgono con uguale velocità. Quindi v = vrel= 2 m/s. I moduli sono legati all'angolo α con i rapporti goniometrici: $$\{\begin{array}{c}{v}_x=v_x\text{'}+v_{\mathit{xrel}}\\ v_y=v_y\text{'}+v_{\mathit{rel}}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}v\cos \alpha =v_x\text{'}-v_{\mathit{rel}}\cos \alpha \\ v\sin \alpha =v_y\text{'}+v_{\mathit{rel}}\sin \alpha \end{array}$$ Sostituiamo i valori noti delle velocità: $$\{\begin{array}{c}v\cos \alpha =v_x\text{'}-v_{\mathit{rel}}\cos \alpha \\ v\sin \alpha =v_y\text{'}+v_{\mathit{rel}}\sin \alpha \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}2\cos \alpha =v_x\text{'}-2\cos \alpha \\ 2\sin \alpha =v_y\text{'}+2\sin \alpha \end{array}$$ Dalla seconda equazione deduciamo che vy' è uguale a zero, ovvero le due persone, mentre salgono hanno la stessa altezza dal terreno. Se vy'=0 allora vx'= v'.

Ma anche v' è uguale a 2 m/s (Sia S₁ che T vedono muoversi S₂ a 2.0 m/s ) da cui sostituendo nella prima possiamo ricavare: $$2\cos \alpha =2-2\cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha =\frac{1}{2}\Rightarrow \alpha =60°$$