N. 12 URTI

Una biglia di massa m₁ = 100 g e velocità di modulo 2 m/s, urta elasticamente contro una biglia inizialmente ferma di massa m₂ = m₁ . Dopo l’urto la velocità della biglia 1 forma un angolo θ₁ = 35° rispetto alla direzione della velocità iniziale. A quale angolo θ₂ rincula la biglia 2? Quanto valgono i moduli v₁ e v₂ delle velocità delle due biglie dopo l’urto?

Nell'urto elastico di due masse uguali con un massa inizialmente ferma l'angolo delle direzioni dopo l'urto è 90°, da cui θ₂ , rispetto alla direzione iniziale, è θ₂= 90° - 35° = 65°

Se si assegna l'asse delle ascisse alla direzione inziale, per la conservazione dell quantità di moto, si ottiene il sistema:

${\begin{matrix} v_{2 y} = v_{1 y} \\ v = v_{1 x} + v_{2 x} \end{matrix}$

in cui si è tenuto conto che le masse sono uguali.

Passando ai moduli e inserendo gli angoli:

$\Rightarrow {\begin{matrix} v_{2} = v_{1} \cdot \frac{\sin θ_{1}}{\sin ({90 ° - θ}_{1})} = v_{1} \cdot \frac{\sin θ_{1}}{\cos θ_{1}} = v_{1} \cdot \tan θ_{1} \\ v = v_{1} \cdot \cos θ_{1} + v_{1} \cdot \tan θ_{1} \cdot \cos θ_{2} = v_{1} \cdot (\cos θ_{1} + \frac{\sin θ_{1}}{\cos θ_{1}} \cdot \sin θ_{1}) = v_{1} \cdot \frac{\cos^{2} θ_{1} + \sin^{2} θ_{1}}{\cos θ_{1}} = \frac{v_{1}}{\cos θ_{1}} \end{matrix}$

Da cui :

${\begin{matrix} v_{1} = v \cdot \cos θ_{1} = 2 \cdot \cos 35 ° ≃ 1.64 \\ v_{2} = v \cdot \sin θ_{1} = 2 \cdot \sin 35 ° ≃ 1.15 \end{matrix}$ m/s