N. 13 URTI

Una pallina di massa m si muove a velocità 10 m/s e urta un’altra pallina di massa 2m che ha velocità 5 m/s (stesso verso della prima).
Determina le velocità delle palline dopo l’urto nei casi:
1. l’urto è elastico
2. l’urto è anelastico e la velocità finale della prima pallina è -5 m/s
3. nel secondo caso determina l’energia dissipata nell’urto

Applichiamo le formule dell'urto elastico:

\begin{matrix} v_{1 f} = \frac{(m_{1} - m_{2}) v_{1 i} + 2 m_{2} v_{2 i}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{(m - 2 m) v_{1 i} + 4 m v_{2 i}}{m + 2 m} = \frac{- 10 + 4 \cdot 5}{3} \approx - 0.33 m / s \\ v_{2 f} = \frac{(m_{2} - m_{1}) v_{2 i} + 2 m_{1} v_{1 i}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{(2 m - m) v_{2 i} + 2 m v_{1 i}}{m + 2 m} = \frac{5 + 2 \cdot 10}{3} \approx 8.33 m / s \end{matrix}

Nel secondo caso l'urto è un generico urto anelastico e si può applicare solo la conservazione della quantità di moto:

m_{1} v_{1 i} + m_{2} v_{2 i} = m_{1} v_{1 f} + m_{2} v_{2 f} \to v_{2 f} = \frac{m_{1} v_{1 i} + m_{2} v_{2 i} - m_{1} v_{1 f}}{m_{2}} = v_{2 f} = \frac{m \cdot 10 + 2 m \cdot 5 - m \cdot (- 5)}{2 m} = 12.5 m / s

L'energia dissipata è data dalla differenza delle energie cinetiche finali e iniziali:

Δ K = K_{f} - K_{i} = \frac{1}{2} (m_{1} v_{1 f}^{2} + m_{2} v_{2 f}^{2}) - \frac{1}{2} (m_{1} v_{1 i}^{2} + m_{2} v_{2 i}^{2}) = \frac{1}{2} (m \cdot 5^{2} + 2 m \cdot {12.5}^{2}) - \frac{1}{2} (m \cdot 10^{2} + 2 m \cdot 5^{2}) = 168.75 m - 75 m = 93.75 m

In questo urto è stata trasformata energia interna al sistema in energia cinetica; non si può parlare di energia dissipata ma di energia erogata.