N. 6 punti collegati

Due pacchi di massa M₁= 4.6 kg e M₂= 2.4 kg sono sospesi ai due estremi di una corda che passa su una carrucola. Trascura la massa della corda e assumi che la carrucola sia ideale. Con quale accelerazione si muovono i pacchi ? Quanto vale la tensione della corda ? (3.1 m/s²; 31 N)

Poichè la massa M₁ è la più grande ipotizziamo che la massa M₁ scenda e che la massa M₂ salga.
Con queste ipotesi le equazioni di Newton per i due corpi sono:

{\begin{matrix} M_{1} g - F_{T} = M_{1} a \\ F_{T} - M_{2} g = M_{2} a \end{matrix}

Sommiamo le due equazioni (metodo di riduzione) e ricaviamo l'accelerazione:

M_{1} g - F_{T} + F_{T} - M_{2} g = M_{1} a + M_{2} a \Rightarrow (M_{1} - M_{2}) g = (M_{1} + M_{2}) a \Rightarrow a = \frac{M_{1} - M_{2}}{M_{1} + M_{2}} g

Riprendiamo una delle due equazioni del moto e sostituiamo l'accelerazione per ricavare la tensione della fune:

F_{T} = M_{2} a + M_{2} g = M_{2} \frac{M_{1} - M_{2}}{M_{1} + M_{2}} g + M_{2} g = M_{2} \frac{M_{1} - M_{2}}{M_{1} + M_{2}} g + M_{2} g = \frac{2 M_{1} M_{2}}{M_{1} + M_{2}} g

Sostituiamo i dati. L'accelerazione:

a = \frac{M_{1} - M_{2}}{M_{1} + M_{2}} g = \frac{4.6 - 2.4}{4.6 + 2.4} \cdot 9.8 \approx 3.1 m/s²

e la tensione:

F_{T} = \frac{2 \cdot 4.6 \cdot 2.4}{4.6 + 2.4} \cdot 9.8 \approx 31 N