Due blocchi sono collegati tramite una fune come mostrato in figura. Il primo è su un piano scabro, inclinato di 30° rispetto all'orizzontale, mentre il secondo di massa 8.7 kg, è sospeso nel vuoto. Il coefficiente di attrito dinamico tra il blocco e il piano è di 0.05. I due blocchi si muovono con accelerazione 5.2 m/s². Determina la tensione della fune e la massa del blocco sul piano inclinato (R: 40 N, 55 kg)


L'accelerazione ha il verso imposto dalla gravità. Le equazioni di Newton per i due punti materiali sono (supponiamo che il blocco sul piano inclinato scivoli giù): { m g − F T = m a { F T + Mg sin α − F a = M a F V − Mg cos α = 0 left lbrace stack{m g - F_T = m a # left lbrace stack{F_T + Mg sin %alpha - F_a = M a # F_V - Mg cos %alpha=0} right none } right none per il punto materiale poggiato sul piano inclinato dobbiamo scrivere anche l'equazione per l'asse perpendicolare al moto a causa della presenza della forza d'attrito.
La forza d'attrito è legata alla forza vincolare dalla formula: F a = μ F V = μ Mg cos α F_a = %mu F_V = %mu Mg cos %alpha Sostituendo nell'equazione del moto troviamo: { m g − F T = m a F T + Mg sin α − F a = M a ⇒ { m g − F T = m a F T + Mg sin α − μ Mg cos α = M a left lbrace stack{m g - F_T = m a # F_T + Mg sin %alpha - F_a = M a } right none drarrow left lbrace stack{m g - F_T = m a # F_T + Mg sin %alpha - %mu Mg cos %alpha = M a } right none
In questo problema è nota l'accelerazione ma non la massa M e la tensione della fune.
Dalla prima equazione possiamo ricavare la tensione della fune: m g − F T = m a ⇒ F T = m ( g − a ) m g - F_T = m a drarrow F_T = m( g-a ) Poi la sostituiamo nella seconda equazione per ricavare la massa M: F T + M g sin α − μ M g cos α = M a ⇒ m ( g − a ) + M g sin α − μ M g cos α = M a ⇒ ⇒ m ( g − a ) = M a − M g sin α + μ Mg cos α ⇒ M ( a − g sin α + μ g cos α ) = m ( g − a ) ⇒ F_T + M g sin %alpha - %mu M g cos %alpha = M a drarrow m( g-a ) + M g sin %alpha - %mu M g cos %alpha = M a drarrow newline drarrow m( g-a )= M a -M g sin %alpha + %mu Mg cos %alpha drarrow M ( a - g sin %alpha + %mu g cos %alpha ) = m ( g-a ) drarrow ⇒ M = g − a a − g sin α + μ g cos α m drarrow M= {{ g-a } over { a - g sin %alpha + %mu g cos %alpha }}m Sostituiamo i dati. La tensione: F T = m ( g − a ) = 8.7 ⋅ ( 9.8 − 5.2 ) ≈ 40 N F_T = m( g-a )= 8.7 cdot ( 9.8 - 5.2 ) approx 40`"N" e la massa M: M = g − a a − g sin α + μ g cos α m = 9.8 − 5.2 5.2 − 9.8 ⋅ sin 30 ° + 0.05 ⋅ 9.8 ⋅ cos 30 ° ⋅ 8.7 ≈ 55 kg M= {{ g-a } over { a - g sin %alpha + %mu g cos %alpha }}m = {{ 9.8-5.2 } over { 5.2 - 9.8 cdot sin 30° + 0.05 cdot 9.8 cdot cos 30° }}cdot 8.7 approx 55`"kg"