Un blocco di massa M, appoggiato su un piano orizzontale scabro, è unito mediante un filo inestensibile e di massa trascurabile a una sfera di massa $m=\sqrt{2}M$. Il filo viene fatto passare su una carrucola posta a una certa altezza sopra il piano, in modo che il tratto di filo collegato al blocco sia inclinato di 45°, come mostrato nella figura.

1. Mostra che il blocco si muove qualunque sia il valore del coefficiente di attrito statico tra il blocco e il piano.
2. Le accelerazioni iniziali dei due oggetti non sono uguali: indicando quella della sfera con a, risulta che quella del blocco è a·cos(45°). Calcola il valore di a.

Mettiamoci nella condizione del minimo moto ovvero nella condizione di equilibrio. In questo caso per la sfera possiamo scrivere: $$F_T=\sqrt{2}Mg$$ Per il blocco possiamo scrivere: $$\{\begin{array}{c}{F}_T\sin 45°+F_V=Mg\\ F_T\cos 45°=\mu F_V\end{array}$$ Sostituiamo la tensione trovata nella prima equazione e, ricordando che sin 45° = 1/√2, si ha: $$F_T\sin 45°+F_V=Mg\Rightarrow \sqrt{2}Mg\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+F_V=Mg\Rightarrow Mg+F_V=Mg\Rightarrow F_V=0$$

Quindi all'equilibrio la forza vincolare è nulla e così anche la forza d'attrito. Lo stesso accade in una condizione di moto che non porta ad un aumento della forza vincolare.
Per calcolare l'accelerazione del sistema scriviamo le equazioni del moto per i due corpi (assumendo che la forza vincolare sia nulla): $$\begin{array}{c}\sqrt{2}Mg-F_T=\sqrt{2}Ma\\ F_T\cos 45°=Ma\end{array}$$ Ricaviamo l'accelerazione: $$\{\begin{array}{c}\sqrt{2}Mg-F_T=\sqrt{2}Ma\\ F_T\cos 45°=Ma\cos 45°\end{array}\Rightarrow \sqrt{2}Mg-Ma=\sqrt{2}Ma\Rightarrow a=\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}g$$ Sostituiamo i dati: $$a=\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}g=\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\cdot 9.8\approx 5.74\text{m/s²}$$