Un oggetto di massa m₁= 12 kg si trova su un piano inclinato di un angolo di 30° e collegato tramite una fune di massa trascurabile a un oggetto di massa m₂= 3 kg, appeso come in figura. L'attrito sul piano inclinato non è trascurabile, e il coefficiente di attrito dinamico vale 0.2. Determina l'accelerazione del sistema in assenza e in presenza di attrito.

Troviamo prima l'accelerazione con attrito e poi l'accelerazione senza attrito la ricaviamo togliendo l'attrito dall'accelerazione trovata. Le equazioni di Newton per i due punti materiali sono: $$\{\begin{array}{c}{F}_T-m_{2}g=m_{2}a\\ \{\begin{array}{c}{m}_{1}g\sin \alpha -F_T-F_a=m_{1}a\\ F_V-m_{1}g\cos \alpha =0\end{array}\end{array}$$ Sostituiamo la forza d'attrito con µFV, sostituiamo FV e sommiamo la prima e la seconda equazione (quelle lungo il moto) per eliminare la tensione (metodo di riduzione) : $$\begin{array}{c}{F}_T-m_{2}g+m_{1}g\sin \alpha -F_T-\mu m_{1}g\cos \alpha =m_{1}a+m_{2}a\Rightarrow \\ \Rightarrow -m_{2}g+m_{1}g\sin \alpha -\mu m_{1}g\cos \alpha =m_{1}a+m_{2}a\Rightarrow \\ \Rightarrow m_{1}g\sin \alpha -\mu m_{1}g\cos \alpha -m_{2}g=(m_1+m_2)a\Rightarrow \end{array}$$ $$\Rightarrow a=\frac{m_1\sin \alpha -\mu m_1\cos \alpha -m_2}{m_1+m_2}\cdot g$$

Per avere l'accelerazione senza attrito basta porre µ=0: $$a=\frac{m_1\sin \alpha -m_2}{m_1+m_2}\cdot g$$ Sostituiamo i dati troviamo: $$a=\frac{m_1\sin \alpha -\mu m_1\cos \alpha -m_2}{m_1+m_2}\cdot g=\frac{12\sin 30°-0.2\cdot 12\cdot \cos 30°-3}{12+3}\cdot 9.8\approx 0.6\text{m/s²}$$ e in assenza d'attrito: $$a=\frac{m_1\sin \alpha -m_2}{m_1+m_2}\cdot g=\frac{12\sin 30°-3}{12+3}\cdot 9.8\approx 2\text{m/s²}$$