N° 2 Statica del Corpo Rigido


Le equazioni di equilibrio per il punto materiale (la scala) per le traslazioni sono: Direzione verticale: $mg + 2 mg - F_{A} = 0$ Direzione orizzontale: $F_{a} - F_{B} = 0$ La forza d'attrito dipende da quella vincolare: $F_{a} = k_{a} \cdot F_{A}$ Sostituendo la forza d'attrito nell'equazione della direzione orizzontale: $k_{a} \cdot F_{A} - F_{B} = 0$ Equazione di equilibrio per il sistema rigido (la scala) per le rotazioni rispetto al punto A sono: $F_{B} \cdot \bar{BC} - mg \cdot \bar{AD} - 2 mg \cdot \bar{AG} = 0$ Poichè la lunghezza della scala è AB= 3 m, noto l'angolo di inclinazione ( 60°), si possono ricavare le altre lunghezze: $\bar{BC} = \bar{AB} \cdot \sin 60 ° = 3 \cdot \sin 60 ° ≃ 2.6$ m $\bar{AD} = \frac{\bar{AB}}{2} \cdot \cos 60 ° = 1.5 \cdot \cos 60 ° ≃ 0.75$ m $\bar{AG} = xL \cdot \cos 60 ° = 0.5 \cdot xL$

Sostituendo nell'equazione di equilibrio per il sistema rigido si trova :

$F_{B} \cdot 2.6 - mg \cdot 0.75 - 2 mg \cdot 0.5 \cdot xL = 0$

Si ottendogono così tre equazioni: ${\begin{matrix} mg + 2 mg - F_{A} = 0 \\ k_{a} \cdot F_{A} - F_{B} = 0 \\ F_{B} \cdot 2.6 - mg \cdot 0.75 - 2 mg \cdot 0.5 \cdot xL = 0 \end{matrix}$ . Dalla prima si ricava $F_{A} = 3 mg$ .

Sostituendo questo $F_{A}$ nella seconda si ottiene: $k_{a} \cdot 3 mg - F_{B} = 0$ , da cui $F_{B} = 3 k_{a} \cdot mg$

Adesso che si conosce F_B si sostituisce nella terza: $3 k_{a} \cdot mg \cdot 2.6 - mg \cdot 0.75 - 2 mg \cdot 0.5 \cdot xL = 0$ .

Il prodotto mg si raccoglie a fattor comune e si semplifica: $3 k_{a} \cdot 2.6 - 0.75 - xL = 0$ . Da cui $xL = 3 k_{a} \cdot 2.6 - 0.75 = 3 \cdot 0.4 \cdot 2.6 - 0.75 ≃ 2.4$ m