Un circuito RLC in serie risuona alla frequenza di 6,00 kHz. Quando oscilla alla frequenza di 8,00 kHz ha un’impedenza di 1,00 kΩ e un angolo di fase di 45°. Determinare i valori di R, L e C presenti nel circuito.

Se l'angolo di fase è 45° allora, poichè tan (45°) = 1, deve valere la condizione: $$X_L-X_C=R$$ La formula dell'impedenza di un circuito RLC serie è: $$Z=\sqrt{R^2+{(X_L-X_C)}^2}$$ Con la condizione precedente, nota l'impedenza, possiamo ricavare la resistenza: $$Z=\sqrt{R^2+{(X_L-X_C)}^2}=\sqrt{R^2+R^2}\Rightarrow R=\frac{Z}{\sqrt{2}}=\frac{1000}{\sqrt{2}}\approx 707\mathrm{\Omega }$$ L'induttanza e la capacità li ricaviamo mettendo insieme la condizione dell'angolo di fase a 8 kHz e della frequenza di risonanza: $$\{\begin{array}{c}2\pi fL-\frac{1}{2\pi fC}=R\\ f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}4{\pi }^2{f}^{2}LC-1=2\pi fRC\\ \mathit{LC}=\frac{1}{4{\pi }^2{f}_0^2}\end{array}$$ Sostituiamo il prodotto LC e troviamo C: $$\frac{1}{4{\pi }^2{f}_0^2}\cdot 4{\pi }^2{f}^2-1=2\pi fRC\Rightarrow C=\frac{{(f/f_0)}^2-1}{2\pi fR}=\frac{{(8/6)}^2-1}{2\pi \cdot 8000\cdot 707}\approx 22nF$$ L'induttanza la troviamo utilizzando la condizione di risomnanza: $$L=\frac{1}{4{\pi }^2{f}_0^{2}C}=\frac{1}{4{\pi }^2\cdot {6000}^2\cdot 2.2\cdot {10}^{-9}}\approx 0.32H$$