15 Distribuzioni di cariche

Tre gusci sferici concentrici carichi hanno raggi 10 cm, 15 cm e 20 cm. La carica sul guscio più interno è di 40 nC, quella sul guscio intermedio è -20 nC e quella del guscio esterno è di 20 nC. Calcola il campo elettrico alla distanza R_A= 2 cm, alla distanza R_B= 12 cm e alla distanza R_C= 18 cm dal centro.

Applicando il teorema di Gauss nelle quattro regioni in cui è diviso lo spazio (vedi figura), si ricava facilmente che:

{\begin{matrix} E_{I} = 0 r < R_{1} \\ E_{II} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q_{1}}{r^{2}} R_{1} \leq r < R_{2} \\ E_{III} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q_{1} + Q_{2}}{r^{2}} R_{2} \leq r < R_{3} \\ E_{IV} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q_{1} + Q_{2} + Q_{3}}{r^{2}} r \geq R_{3} \end{matrix}

Nelle regioni richieste troveremo:

{\begin{matrix} E_{I} (2 cm) = 0 2 cm < 10 cm \\ E_{II} (12 cm) = 8.9 \cdot 10^{9} \cdot \frac{40 \cdot 10^{- 9}}{{0.12}^{2}} \approx 27722 V / m 10 cm \leq 12 cm < 15 cm \\ E_{III} (18 cm) = 8.9 \cdot 10^{9} \frac{(40 - 20) \cdot 10^{- 9}}{{0.18}^{2}} \approx 5494 V / m 15 cm \leq 18 cm < 20 cm \end{matrix}