16 Distribuzioni di cariche

Un guscio cilindrico, di raggio interno R₁ = 5.8 cm e raggio esterno R₂ = 8.5 cm ha una densità volumica di carica uniforme ρ = 3.9 µC/m³.
Calcola il modulo del campo elettrico nel punto P che dista d₁ = 4.2 cm, d₂= 7.8 cm e d₃= 12.7 cm dall’asse del guscio cilindrico.
Determina infine un grafico quanto più possibile quantitativo del campo elettrico in tutto lo spazio.

Il guscio cilindrico per quanto riguarda il campo elettrico divide lo spazio in tre regioni. Se applichiamo il teorema di Gauss nelle tre regioni (considerando una superficie gaussiana cilindrica coassiale data la simmetria) si trova:

{\begin{matrix} E_{I} (r) = 0 r < R_{1} \\ E_{II} (2 π r h) = \frac{π ρ (r^{2} - R_{1}^{2}) h}{ϵ_{0}} R_{1} \leq r < R_{2} \\ E_{III} (2 π r h) = \frac{π ρ (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}) h}{ϵ_{0}} r \geq R_{2} \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} E_{I} (r) = 0 r < R_{1} \\ E_{II} (r) = \frac{ρ}{2 ϵ_{0}} \cdot (r - \frac{R_{1}^{2}}{r}) R_{1} \leq r < R_{2} \\ E_{III} (r) = \frac{ρ}{2 ϵ_{0}} \cdot \frac{(R_{2}^{2} - R_{1}^{2})}{r} r \geq R_{2} \end{matrix}

Nei punti indicati si trova:

{\begin{matrix} E_{I} (4.2 cm) = 0 V / m 4.2 cm < 5.8 cm \\ E_{II} (7.8 cm) = \frac{3.9 \cdot 10^{- 6}}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{- 12}} \cdot (0.078 - \frac{{0.058}^{2}}{0.078}) \approx 7684 V / m 5.8 cm \leq 7.8 cm < 8.5 cm \\ E_{III} (12.7 cm) = \frac{3.9 \cdot 10^{- 6}}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{- 12}} \cdot \frac{({0.085}^{2} - {0.058}^{2})}{0.127} \approx 6699 V / m 12.7 cm \geq 8.5 cm \end{matrix}

Il grafico del campo elettrico: