Supponiamo che un condensatore a piatti circolari di raggio R= 30 mm e distanza di 5.0 mm sia sottoposto a una differenza di potenziale variabile sinusoidalmente di frequenza 60 Hz e ampiezza 150 V.
Pertanto V ( t ) = ( 150 V ) ⋅ sin [ 2 π ( 60 Hz ) t ] V( t )= ( 150 V ) cdot sin [ 2 %pi (60 Hz) t ] . a. Trovare Bmax(R) in corrispondenza di r= R. b. Disegnare il grafico di Bmax per 0 < r < 10 cm.


Applichiamo il teorema di Ampere all'interno del condensatore: Γ ( B ) = ϵ 0 μ 0 d Φ conc ( E ) d t %GAMMA ( B ) = %epsilon_0 %mu_0 {d %PHI_conc (E) } over {d t }
Calcoliamo la circuitazione di B all'interno del condensatore in corrispondenza del bordo (supponendo che anche nel bordo il campo elettrico sia uniforme e che le linee di forza del campo magnetico siano circolari ):
Γ ( B ) = B ⋅ 2 π R %GAMMA( B ) = B cdot 2 %pi R
Adesso calcoliamo il campo elettrico all'interno del condensatore (in valore assoluto):
E = | − dV dx | = V d = ( 150 V ) ⋅ sin [ 2 π ( 60 Hz ) t ] d E = abs {- {{ dV } over { dx }}}= V over d = { ( 150 V ) cdot sin [ 2 %pi (60 Hz) t ] } over d Poi il flusso del campo elettrico attraverso una superficie concatenata al percorso lungo il quale abbiamo calcolato la circuitazione:
Φ conc ( E ) = E ⋅ S = E ⋅ π R 2 = ( 150 V ) ⋅ sin [ 2 π ( 60 Hz ) t ] d ⋅ π R 2 %PHI_conc(E) = E cdot S = E cdot %pi R^2 = { ( 150 V ) cdot sin [ 2 %pi (60 Hz) t ] } over d cdot %pi R^2 Calcoliamo la derivata temporale del flusso concatenato: d Φ conc ( E ) dt = ( 150 V ) ⋅ 2 π ( 60 Hz ) ⋅ cos [ 2 π ( 60 Hz ) t ] d ⋅ π R 2 = ( 150 V ) ⋅ 2 π ( 60 Hz ) d ⋅ π R 2 ⋅ cos [ 2 π ( 60 Hz ) t ] {d %PHI_conc(E)} over {dt } ={ ( 150 V ) cdot 2 %pi (60 Hz) cdot cos [ 2 %pi (60 Hz) t ] } over d cdot %pi R^2 = { ( 150 V ) cdot 2 %pi (60 Hz) } over d cdot %pi R^2 cdot cos [ 2 %pi (60 Hz) t ]
Sostituiamo circuitazione e derivata temporale nel teorema di Ampere: B ⋅ 2 π R = ϵ 0 μ 0 ⋅ ( 150 V ) ⋅ 2 π ( 60 Hz ) d ⋅ π R 2 ⋅ cos [ 2 π ( 60 Hz ) t ] → B = ϵ 0 μ 0 ⋅ ( 150 V ) ⋅ π R ( 60 Hz ) d ⋅ cos [ 2 π ( 60 Hz ) t ] B cdot 2 %pi R = {%epsilon_0 %mu_0} cdot {{ ( 150 V ) cdot 2 %pi (60 Hz) } over d cdot %pi R^2 cdot cos [ 2 %pi (60 Hz) t ]} toward B= {%epsilon_0 %mu_0} cdot { ( 150 V ) cdot %pi R (60 Hz) } over d cdot cos [ 2 %pi (60 Hz) t ]
Il valore massimo del campo magnetico è:
B max = ϵ 0 μ 0 ⋅ ( 150 V ) ⋅ π R ( 60 Hz ) d = 150 ⋅ π ⋅ 0.03 ⋅ 60 9 ⋅ 10 16 ⋅ 0.005 ≈ 1.9 ⋅ 10 − 12 T = 1.9 pT B_max= {%epsilon_0 %mu_0} cdot { ( 150 V ) cdot %pi R (60 Hz) } over d = { 150 cdot %pi cdot 0.03 cdot 60 } over {9 cdot 10^16 cdot 0.005} approx 1.9 cdot 10^-12`"T" = 1.9 `"pT"
Il funzione di r il campo magnetico massimo cresce linearmente con r. Il grafico è un segmento con origine il centro del disco del condensatore e che quando r=R termina in 1.9 pT