N. 1 La gravità

Due piccoli asteroidi di massa m₁= 4·10⁹ kg e m₂= 2 m₁ e raggio r = 100 m si trovano fermi a distanza relativa R= 6.67·10³ km.
Determina: (a) La forza gravitazionale che agisce in ogni asteroide; (b) l’energia totale dei due asteroidi.
Ad un certo momento i due asteroidi sono liberi di muoversi e si mettono in moto uno verso l’altro fino ad urtarsi.
Determina: (c) le velocità dei due asteroidi al momento dell’urto.

La forza gravitazionale è:

F = G \frac{m_{1} m_{2}}{R^{2}} = 6.67 \cdot 10^{- 11} \cdot \frac{4 \cdot 10^{9} \cdot 8 \cdot 10^{9}}{{(6.67 \cdot 10^{6})}^{2}} \approx 4.8 \cdot 10^{- 5} N

L'energia totale è solo potenziale:

U = - G \frac{m_{1} m_{2}}{R} = - 6.67 \cdot 10^{- 11} \cdot \frac{4 \cdot 10^{9} \cdot 8 \cdot 10^{9}}{6.67 \cdot 10^{6}} \approx - 320 J

Al momento dell'urto la variazione di energia potenziale diventa energia cinetica:

Δ U = U_{f} - U_{i} = - Δ K \to G \frac{m_{1} m_{2}}{2 r} - G \frac{m_{1} m_{2}}{R} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}

Inoltre, essendo il sistema isolato, la quantità di moto totale si conserva:

p_{i} = p_{f} \to 0 = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}

Da cui, sostituendo i dati,:

G \frac{m_{1} m_{2}}{2 r} - G \frac{m_{1} m_{2}}{R} = 6.67 \cdot 10^{- 11} \cdot \frac{4 \cdot 10^{9} \cdot 8 \cdot 10^{9}}{200} - 320 \approx 10.67168 MJ

L'energia potenziale ora è molto bassa (numero negativo elevato in valore assoluto) e, di conseguenza, l'energia cinetica molto alta.
Ricaviamo una velocità:

v_{1} = - \frac{m_{2}}{m_{1}} v_{2}

Sostituiamo nell'energia cinetica:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m_{1} {(\frac{m_{2}}{m_{1}})}^{2} v_{2}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} = 10671680 \\ \frac{m_{2}^{2}}{m_{1}} v_{2}^{2} + m_{2} v_{2}^{2} = 21343360 \\ 2 \frac{m_{2}^{2}}{m_{2}} v_{2}^{2} + m_{2} v_{2}^{2} = 21343360 \\ 2 m_{2} v_{2}^{2} + m_{2} v_{2}^{2} = 21343360 \\ 3 m_{2} v_{2}^{2} = 21343360 \\ v_{2} = \sqrt{\frac{21343360}{24 \cdot 10^{9}}} \approx 0.03 m / s \end{matrix}

L'altra velocità è:

v_{1} = - \frac{m_{2}}{m_{1}} v_{2} = - 2 v_{2} = - 0.06 m / s