N. 2 La gravità

Oumuamua, noto anche come 2017 U1, è il primo asteroide interstellare classificato come tale. L'asteroide ha raggiunto il punto di massima vicinanza al Sole, 38 milioni di km, il 9 settembre 2017 e la minima distanza dalla Terra, circa 24 milioni di km, il 14 ottobre 2017, quattro giorni prima di essere scoperto. Attualmente (2020) l’asteroide procede velocità di 50 km/s rispetto alla Terra, ha una massa stimata di 9.6·10⁸kg e ha un periodo di rotazione attorno il suo centro di massa di 5 ore. La particolarità dell’asteroide, oltre che essere un asteroide che proviene dall’esterno del nostro sistema solare, è che ha la forma allungata, come un sigaro, di lunghezza circa 500 m.
Determina: (a) La massima forza di attrazione che il Sole ha esercitato su 2017 U1; (b) La massima forza di attrazione che la Terra ha esercitato su 2017 U1; (c) La velocità di 2017 U1 quando era alla minima distanza dalla Terra supponendo che questa era pari alla velocità di fuga di 2017 U1 dalla Terra;
Supponi che alla minima distanza dalla Terra la velocità dell’asteroide era pari alla velocità orbitale e, a motivo di questo, sarebbe stato attratto dalla Terra finendo poi, dopo alcune orbite, ad impattare il nostro pianeta. Per scongiurare questa eventualità si prova ad inviare un proiettile di 2 tonnellate, che urtando in modo completamente anelastico in modo frontale l’asteroide, lo allontana dalla Terra. Determina: (d) Il momento d’inerzia dell’asteroide considerato simile ad un’asta che ruota attorno il suo asse; (e) Il momento angolare dell’asteroide; (f) La velocità necessaria al proiettile per far acquistare all’asteroide, in seguito all’urto frontale completamente anelastico, una velocità pari alla velocità di fuga; (g) il momento angolare dell’asteroide dopo l’urto se il proiettile lo urta nel suo centro di massa; (h) il momento angolare dell’asteroide se il proiettile lo urta ad una estremità.

La massima forza di attrazione esercitata dal Sole su Oumuamua è stata quando l'asteroide era massima vicinanza dal Sole:

F_{\max} = G \frac{M_{s} M_{o}}{R_{\min}^{2}} = 6.67 \cdot 10^{- 11} \frac{2 \cdot 10^{30} \cdot 9.6 \cdot 10^{8}}{{(38 \cdot 10^{9})}^{2}} \approx 88.7 \cdot 10^{6} N

La massima forza di attrazione esercitata dalla Terra su Oumuamua è stata quando l'asteroide era alla minima distanza dalla Terra:

F_{\max} = G \frac{M_{T} M_{o}}{R_{\min}^{2}} = 6.67 \cdot 10^{- 11} \frac{6 \cdot 10^{24} \cdot 9.6 \cdot 10^{8}}{{(24 \cdot 10^{9})}^{2}} \approx 667 N

La velocità di 2017 U1 quando era alla minima distanza dalla Terra supponendo che questa era pari alla velocità di fuga di 2017 U1 dalla Terra è:

v_{f} = \sqrt{\frac{2 {GM}_{T}}{R_{\min}}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 6.67 \cdot 10^{- 11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{24 \cdot 10^{9}}} \approx 183 m / s

Il momento d'inerzia di Oumuamua è (rotazione attorno il proprio asse):

I = \frac{M L^{2}}{12} = \frac{9.6 \cdot 10^{8} \cdot 500^{2}}{12} \approx 2 \cdot 10^{13} {kgm}^{2}

Il momento angolare (di un corpo rigido):

L = I ω = I \frac{2 π}{T} = 2 \cdot 10^{13} \cdot \frac{2 π}{5 \cdot 3600} \approx 7 \cdot 10^{9} {kgm}^{2} / s

Applichiamo il principio di conservazione della quantità di moto per gli urti completamente anelastici (velocità iniziali opposte):

m_{p} v_{p} - m_{o} v_{o} = (m_{p} + m_{o}) v_{f} \to m_{p} v_{p} - m_{o} \frac{v_{f}}{\sqrt{2}} = (m_{p} + m_{o}) v_{f} \to v_{p} = \frac{m_{p} + (1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) m_{o}}{m_{p}} v_{f} = [1 + (1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) \frac{m_{o}}{m_{p}}] v_{f}

Sostituiamo i dati:

v_{p} = [1 + (1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) \frac{m_{o}}{m_{p}}] v_{f} = [1 + (1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) \frac{9.6 \cdot 10^{8}}{2000}] \cdot 183 \approx 1.5 \cdot 10^{8} m / s

Se il proiettile urta Oumuamua nel suo centro di massa il momento angolare del sistema rimane quello prima dell'urto giacchè il proiettile ho un momento angolare nullo rispetto al centro di massa di Oumuamua.
Se il proiettile urta Oumuamua ad una estremità le cose cambiano perchè il proiettile ha un momento angolare rispetto al centro di massa di Oumuamua (il centro di massa del sistema poichè il proiettile ha una massa piccola si può considerare sempre nel centro geometrico di Oumuamua ).
Supponiamo che i due momenti angolari iniziali siano opposti (come le velocità dei C.M.):

L_{f} = L_{i} - m_{p} v_{p} \frac{l}{2} = 7 \cdot 10^{9} - 2000 \cdot 1.5 \cdot 10^{8} \cdot 250 \approx - 7.5 \cdot 10^{13} kg m^{2} / s

Praticamente uguale a quello del proiettile.