N. 3 La gravità

Una stella di raggio 7·10⁵ km e di massa pari a due masse solari (4· 10³⁰ kg) compe un giro su se stessa in 30 giorni. Sapendo che l’ energia potenziale gravitazionale di sfera piena è data dalla formula U= -3GM²/5R , determina: (a) La velocità angolare della stella nella prima fase della sua vita (b) Il momento angolare della stella nella prima fase della sua vita (c) l’energia totale della stella nella prima fase della sua vita (d) la velocità angolare della pulsar dopo il collasso (e) l’energia totale della pulsar dopo il collasso (f) la perdita di energia dovuta al collasso.

La velocità angolare è definita da :

ω = \frac{2 π}{T}

Sostituiamo il periodo:

ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{30 \cdot 24 \cdot 3600} \approx 2.4 \cdot 10^{- 6} rad / s

Il momento angolare per una sfera piena (modello di una stella) che ruota attorno il suo asse di simmetria è dato da:

L = I ω = \frac{2}{5} M R^{2} ω

Sostituiamo i dati:

L = \frac{2}{5} M R^{2} ω = \frac{2}{5} \cdot 4 \cdot 10^{30} \cdot {(7 \cdot 10^{8})}^{2} \cdot 2.4 \cdot 10^{- 6} \approx 1.9 \cdot 10^{42} kg m^{2} / s

L'energia totale è la somma dell'energia cionetica rotazionale e dell'energia potenziale:

E = K + U = \frac{1}{2} I ω^{2} - \frac{3}{5} \frac{G M^{2}}{R} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} M R^{2} ω^{2} - \frac{3}{5} \frac{G M^{2}}{R}

Sostituiamo i dati:

E = \frac{1}{5} M R^{2} ω^{2} - \frac{3}{5} \frac{G M^{2}}{R} = \frac{1}{5} \cdot 4 \cdot 10^{30} \cdot {(7 \cdot 10^{8})}^{2} {(2.4 \cdot 10^{- 6})}^{2} - \frac{3}{5} \cdot \frac{6.67 \cdot 10^{- 11} \cdot {(4 \cdot 10^{30})}^{2}}{7 \cdot 10^{8}} \approx 2.26 \cdot 10^{36} - 9.2 \cdot 10^{41} \approx - 9.2 \cdot 10^{41} J

L'energia cinetica in questa fase è trascurabile.
Dopo il collasso il momento angolare si deve conservare (agiscono solo forze interne):

L = \frac{2}{5} M R_{f}^{2} ω_{f} \to ω_{f} = \frac{5 L}{M R_{f}^{2}}

Sostituiamo i dati:

ω_{f} = \frac{5 L}{M R_{f}^{2}} = \frac{5 \cdot 1.9 \cdot 10^{42}}{4 \cdot 10^{30} \cdot 15000^{2}} \approx 10556 rad / s

Ricalcoliamo l'energia totale:

E = \frac{1}{5} M R^{2} ω^{2} - \frac{3}{5} \frac{G M^{2}}{R} = \frac{1}{5} \cdot 4 \cdot 10^{30} \cdot {(15 \cdot 10^{3})}^{2} {(10556)}^{2} - \frac{3}{5} \cdot \frac{6.67 \cdot 10^{- 11} \cdot {(4 \cdot 10^{30})}^{2}}{15 \cdot 10^{3}} \approx 2 \cdot 10^{46} - 4.3 \cdot 10^{46} \approx - 2.26 \cdot 10^{46} J

La perdita di energia è:

Δ E = E_{f} - E_{i} = - 2.26 \cdot 10^{46} + 9.2 \cdot 10^{41} \approx - 2.26 \cdot 10^{46} J