N. 5 La gravità

Un satellite di massa m= 500 kg percorre un’orbita circolare attorno la Terra.
Sapendo che il satellite impiega 40 ore a percorrere un’orbita completa, determina: (a) il raggio R₁ dell’orbita; (b) la velocità del satellite.
In seguito, accendendo il propulsore per pochi istanti, la velocità del satellite viene raddoppiata e, conseguentemente, il satellite inizia a percorre un’orbita ellittica. Dato che il propulsore opera per pochi istanti, la distanza dal primo vertice R₁(apogeo) corrisponderà al raggio dell’orbita circolare.
Determina: (c) Il momento angolare subito dopo lo spegnimento del propulsore; (d) L’energia meccanica totale subito dopo lo spegnimento del propulsore; (e) La distanza dal secondo vertice (perigeo) (f) La velocità nel secondo vertice.

Il raggio dell'orbita si ricava dalla III legge di Keplero:

\frac{R_{1}^{3}}{T^{2}} = \frac{G M}{4 π^{2}} \to R_{1} = \sqrt[3]{\frac{G M T^{2}}{4 π^{2}}}

Sostituiamo i dati:

R_{1} = \sqrt[3]{\frac{6.67 \cdot 10^{- 11} \cdot 6 \cdot 10^{24} \cdot {(40 \cdot 3600)}^{2}}{4 π^{2}}} \approx 59480 km

La formula della velocità orbitale è:

v = \sqrt{\frac{G M}{R_{1}}} = \sqrt{\frac{6.67 \cdot 10^{- 11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{59478626}} \approx 2600 m / s

Subito dopo lo spegnimento del motore il momento angolare è:

L = m \cdot 2 v \cdot R_{1} = 500 \cdot 5188 \cdot 59478626 \approx 1.5 \cdot 10^{14} kg m^{2} / s

L'energia meccanica totale è:

E = K + U = \frac{1}{2} m \cdot {(2 v)}^{2} - \frac{G \cdot M m}{R_{1}} = \frac{1}{2} \cdot 500 \cdot {(5200)}^{2} - 6.67 \cdot 10^{- 11} \cdot \frac{6 \cdot 10^{24} \cdot 500}{59478626} \approx 6.76 \cdot 10^{9} - 3.36 \cdot 10^{9} \approx 3.4 \cdot 10^{9} J

L'energia meccanica totale è positiva e quindi il satellite non rimarrà in una orbita ellittica. Infatti la velocità di fuga è inferiore al doppio della velocità orbitale.