N. 6 La gravità

Due masse m₁= 200 kg e m₂= 800 kg sono poste alla distanza di 13 m e sono vincolate a non potersi muovere.
Determina :(a) la posizione tra le due masse dove porre una massa di m= 100 kg affinché la forza gravitazionale agente su m sia nulla; (b) L’energia potenziale gravitazionale delle tre masse (tre contributi quello tra m₁e m₂, quello tra m e m₁ e quello tra m e m₂) (c) la forza agente sulla massa m se questa è posta nel vertice retto di un triangolo rettangolo di ipotenusa 13 m e di cateti 5 m e 12 m. Negli altri due vertici sono poste le masse m₁ ( 5 m) e m₂ (12 m)

Le forze sulla massa m hanno versi opposti, per cui, affinchè la risultante delle forze sia nulla, basta che imponiamo che i loro moduli siano uguali.
Scegliamo come origine degli assi la massa m₁:

\begin{matrix} G \frac{m_{1} m}{x^{2}} = G \frac{m_{2} m}{{(d - x)}^{2}} \to \frac{m_{1}}{x^{2}} = \frac{m_{2}}{{(d - x)}^{2}} \\ \to d^{2} + x^{2} - 2 d x = \frac{m_{2}}{m_{1}} x^{2} \to 169 + x^{2} - 26 x = 4 x^{2} \to 3 x^{2} + 26 x - 169 = 0 \\ \to x = \frac{- 13 + \sqrt{169 + 507}}{4} = \frac{- 13 + 26}{4} = 3.25 m \end{matrix}

L'energia potenziale gravitazionale del sistema delle tre masse:

U_{tot} = - G \frac{m_{1} m}{x} - - G \frac{m_{2} m}{(d - x)} - - G \frac{m_{1} m_{2}}{d} = - 6.67 \cdot 10^{- 11} \cdot (\frac{200 \cdot 100}{3.25} + \frac{800 \cdot 100}{(13 - 3.25)} + \frac{200 \cdot 800}{13}) \approx 1.78 \cdot 10^{- 6} J

Calcoliamo i moduli delle forze:

\begin{matrix} F_{1} = G \frac{m_{1} m}{r_{1}^{2}} = 6.67 \cdot 10^{- 11} \cdot \frac{200 \cdot 100}{5^{2}} \approx 5.34 \cdot 10^{8} N \\ F_{2} = G \frac{m_{2} m}{r_{2}^{2}} = 6.67 \cdot 10^{- 11} \cdot \frac{800 \cdot 100}{12^{2}} \approx 3.71 \cdot 10^{- 8} N \end{matrix}

La forza risultante si calcola applicando il teorema di Pitagora:

F_{R} = \sqrt{F_{1}^{2} + F_{2}^{2}} = \sqrt{{5.34}^{2} + {3.71}^{2}} \cdot 10^{- 8} \approx 6.5 \cdot 10^{- 8} N