La stella S2 orbita attorno al buco nero SgrA* posto al centro della nostra Galassia. Il raggio dell’orbita è 1030 UA (1 UA = 1.5·1011 m) e il periodo di rivoluzione è 15.9 anni. La massa di S2 è pari a 15 masse solari. Determina: (a) La massa di SgrA*; (b) la velocità della stella S2 in km/s; (c) l’energia totale della stella S2; (d) la forza di attrazione gravitazionale di SgrA* su S2; (e) la velocità necessaria a S2 per sfuggire all’attrazione gravitazionale di SgrA* in km/s
Il Sole dista circa 7900 pc (1pc = 3.26 al e 1 al= 3.1·1013 km). Determina (come se l'unico corpo attrattivo fosse SgrA*): (f) La velocità del Sole attorno il centro galattico in km/s ; (g) il periodo di rivoluzione del Sole attorno il centro galattico in anni; (h) l’energia totale del Sole; (i) la forza di attrazione gravitazionale di SgrA* sul Sole.

La massa di SgrA* possiamo ricavarla applicando la III legge di Keplero: R 3 T 2 = G M SgrA 4 π 2 → M sgrA = 4 π 2 G ⋅ R 3 T 2 = 4 π 2 6.67 ⋅ 10 − 11 ⋅ ( 1030 ⋅ 1.5 ⋅ 10 11 ) 3 ( 15.9 ⋅ 365 ⋅ 24 ⋅ 3600 ) 2 ≈ 8.7 ⋅ 10 36 kg R^3 over T^2 = {G M_SgrA} over { 4 %pi^2 }toward M_sgrA = { {4 %pi^2} over {G} } cdot { R^3 over T^2 }= { {4 %pi^2} over {6.67 cdot 10^-11} } cdot { (1030 cdot 1.5 cdot 10^11)^3 over (15.9 cdot 365 cdot 24 cdot 3600)^2 } approx 8.7 cdot 10^36`kg La velocità orbitale di S2: v S 2 = G M SgrA R = 6.67 ⋅ 10 − 11 ⋅ 8.7 ⋅ 10 36 1030 ⋅ 1.5 ⋅ 10 11 ≈ 1938 km / s v_S2 = sqrt { {G M_SgrA}over{R} }=sqrt { {6.67 cdot 10^-11 cdot 8.7 cdot 10^36}over{1030 cdot 1.5 cdot 10^11} } approx 1938`km/s L'energia totale di S2: E = U + K = − G M S 2 M SgrA R + 1 2 M S 2 v S 2 2 = − G M S 2 M SgrA R + 1 2 M S 2 G M SgrA R = − 1 2 G M SgrA M S 2 R = − 1 2 ⋅ 6.67 ⋅ 10 − 11 ⋅ 8.7 ⋅ 10 36 ⋅ 15 ⋅ 2 ⋅ 10 30 1030 ⋅ 1.5 ⋅ 10 11 ≈ − 5.6 ⋅ 10 43 J E = U + K = - G { M_S2 M_SgrA } over { R }+ { 1 over 2 } { M_S2 v_S2^2}=- G { M_S2 M_SgrA } over { R }+ { 1 over 2 } { M_S2 {{G M_SgrA}over{R}}}= - {1 over 2 } {G M_SgrA M_S2} over R = -{1 over 2} cdot 6.67 cdot 10^{ -11 } cdot{ { 8.7 cdot 10^36 cdot 15 cdot 2 cdot 10^30 } over { 1030 cdot 1.5 cdot 10^11 }} approx -5.6 cdot 10^43`J La forza di attrazione gravitazionale di SgrA* su S2: F = G M SgrA M S 2 R 2 = 6.67 ⋅ 10 − 11 ⋅ 8.7 ⋅ 10 36 ⋅ 30 ⋅ 10 30 ( 1030 ⋅ 1.5 ⋅ 10 11 ) 2 ≈ 7.3 ⋅ 10 29 N F= G { M_SgrA M_S2 } over R^2 = 6.67 cdot 10^-11 cdot { { 8.7 cdot 10^36 cdot 30 cdot 10^30 } over { (1030 cdot 1.5 cdot 10^11)^2 }} approx 7.3 cdot 10^29`N La velocità necessaria a S2 per sfuggire all’attrazione gravitazionale di SgrA* in km/s: v fS 2 = 2 ⋅ v S 2 = 2 ⋅ 1938 ≈ 2741 km / s v_fS2 = sqrt 2 cdot v_S2 = sqrt 2 cdot 1938 approx 2741`km/s La velocità del Sole attorno il centro galattico in km/s: v S = G M SgrA R CG = 6.67 ⋅ 10 − 11 ⋅ 8.7 ⋅ 10 36 7900 ⋅ 3.26 ⋅ 3.1 ⋅ 10 16 ≈ 0.85 km / s v_S = sqrt { {G M_SgrA}over{R_CG} }=sqrt { {6.67 cdot 10^-11 cdot 8.7 cdot 10^36}over{7900 cdot 3.26 cdot 3.1 cdot 10^16} } approx 0.85`km/s Il periodo di rivoluzione del Sole attorno il centro galattico in anni (utilizziamo la velocità orbitale): T S = 2 π R CG v S = 2 π ⋅ 7900 ⋅ 3.26 ⋅ 3.1 ⋅ 10 16 850 ≈ 6 ⋅ 10 18 s = 187 ⋅ 10 9 anni = 187 miliardi di anni T_S = { 2 %pi R_CG} over v_S = { 2 %pi cdot 7900 cdot 3.26 cdot 3.1 cdot 10^16 } over { 850 } approx 6 cdot 10^18`s = 187 cdot 10^9`"anni" = 187`"miliardi di anni" L'energia totale del Sole: E = − 1 2 G M SgrA M S R CG = − 1 2 ⋅ 6.67 ⋅ 10 − 11 ⋅ 8.7 ⋅ 10 36 ⋅ 2 ⋅ 10 30 7900 ⋅ 3.26 ⋅ 3.1 ⋅ 10 16 ≈ − 7.3 ⋅ 10 35 J E = - {1 over 2 } {G M_SgrA M_S} over R_CG = -{1 over 2} cdot 6.67 cdot 10^{ -11 } cdot{ { 8.7 cdot 10^36 cdot 2 cdot 10^30 } over { 7900 cdot 3.26 cdot 3.1 cdot 10^16 }} approx -7.3 cdot 10^35`J La forza di attrazione gravitazionale di SgrA* sul Sole : F = G M SgrA M S R CG 2 = 6.67 ⋅ 10 − 11 ⋅ 8.7 ⋅ 10 36 ⋅ 2 ⋅ 10 30 ( 7900 ⋅ 3.26 ⋅ 3.1 ⋅ 10 16 ) 2 ≈ 1.8 ⋅ 10 15 N F= G { M_SgrA M_S } over R_CG^2 = 6.67 cdot 10^-11 cdot { { 8.7 cdot 10^36 cdot 2 cdot 10^30 } over { (7900 cdot 3.26 cdot 3.1 cdot 10^16)^2 }} approx 1.8 cdot 10^15`N