N. 8 La gravità

Consideriamo i due satelliti, A e B, di massa m_A= 125 kg e m_B= 250 kg, in moto sulla stessa orbita circolare di raggio r = 9·10⁶m intorno alla Terra, di massa M_T, ma in sensi di rotazione opposti e quindi in rotta di collisione. (a) Determinate l’energia meccanica totale E_A + E_B del sistema A + B + Terra prima della collisione. (b) Se l’urto è completamente anelastico, dando luogo a un rottame di materiale completamente fuso in un unico blocco informe, di massa 375 kg, determinate l’energia meccanica totale immediatamente dopo la collisione. (c) Determinare la velocità del rottame dopo la collisione
Dopo la collisione il rottame seguirà un’orbita ellittica. Imponendo la conservazione del momento angolare e dell’energia meccanica sapresti determinare perigeo (punto di collisione e quindi r) e l’apogeo dell’orbita ?

L'energia totale dei due satelliti in orbita stazionaria è:

U = U_{A} + U_{B} = - \frac{1}{2} (\frac{G M_{A} M_{T}}{r} + \frac{G M_{B} M_{T}}{r}) = - \frac{1}{2} (\frac{G M_{T}}{r}) (M_{A} + M_{B}) = - \frac{1}{2} (\frac{6.67 \cdot 10^{- 11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{9 \cdot 10^{6}}) (125 + 250) \approx 15 \cdot 10^{9} J

Calcoliamo le velocità dei satelliti prima dell'urto:

v_{A} = v_{B} = \sqrt{\frac{G M_{T}}{r}} = \sqrt{\frac{6.67 \cdot 10^{- 11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{9 \cdot 10^{6}}} \approx 6668 m / s

essendo alla stessa distanza le velocità dei due satelliti sono uguali (ma opposte).
Imponiamo la conservazione della quantità di moto per calcolare la velocità del blocco dopo l'urto:

m_{A} v_{A} - m_{B} v_{B} = (m_{A} + m_{B}) v_{f} \to v_{f} = \frac{m_{A} - m_{B}}{m_{A} + m_{B}} v = \frac{125 - 250}{125 + 250} \cdot 6668 \approx - 2223 m / s

Il blocco fuso ruoterà nello stesso verso del satellite B.
Il raggio dell'orbita del blocco fuso sarà minore del raggio originale (sempre supponendo che dopo l'urto si stabilisca in un'orbita stazionaria):

r_{f} = \frac{G M_{T}}{v_{f}^{2}} = \frac{6.67 \cdot 10^{- 11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{2223^{2}} \approx 81 \cdot 10^{6} m

L'energia totale è :

E = - \frac{1}{2} \frac{G M_{T} (m_{A} + m_{B})}{r_{f}} = - \frac{1}{2} \frac{6.67 \cdot 10^{- 11} \cdot 6 \cdot 10^{24} \cdot (125 + 250)}{81 \cdot 10^{6}} \approx 926 \cdot 10^{6} J

Applichiamo la conservazione del momento angolare tra apogeo (punto d'impatto) e perigeo:

(m_{A} + m_{B}) v_{f} r_{f} = (m_{A} + m_{B}) v_{p} r_{p} \to v_{p} r_{p} = v_{f} r_{f} = 2223 \cdot 81 \cdot 10^{6} \approx 180 \cdot 10^{9} m^{2} / s \to v_{p} = \frac{180 \cdot 10^{9}}{r_{p}}

Scriviamo la conservazione dell'energia nel perigeo ( l'orbita non è circolare):

E = - \frac{G M_{T} (m_{A} + m_{B})}{r_{p}} + \frac{1}{2} (m_{A} + m_{B}) v_{p}^{2} = 926 \cdot 10^{6} J

Sostituiamo nell'energia i dati noti e la velocità e troviamo il raggio al perigeo:

\begin{matrix} - \frac{6.67 \cdot 10^{- 11} \cdot 6 \cdot 10^{24} \cdot 375}{r_{p}} + \frac{1}{2} (375) \frac{3.24 \cdot 10^{22}}{r_{p}^{2}} = 926 \cdot 10^{6} J \to 1.5 \cdot 10^{17} r_{p} - 6.075 \cdot 10^{24} + 926 \cdot 10^{6} r_{p}^{2} = 0 \to r_{p}^{2} + 162 \cdot 10^{6} r_{p} - 6.56 \cdot 10^{15} = 0 \\ r_{p} = \frac{- 162 \cdot 10^{6} \pm \sqrt{2.62 \cdot 10^{16} + 4 \cdot 6.56 \cdot 10^{15}}}{2} = \frac{- 162 \cdot 10^{6} \pm 229 \cdot 10^{6}}{2} \approx 33 \cdot 10^{6} m \end{matrix}