L’emissione luminosa di una galassia lontana è analizzata mediante uno spettrometro: si osserva un picco di emissione a 730 nm che viene identificato (grazie al confronto con le altre linee) con l’emissione prodotta dall’idrogeno presente in essa. Sulla Terra si ha la stessa riga di emissione a 487 nm. Supponi che questo effetto sia dovuto solo al moto relativo. A quale velocità viaggia la galassia rispetto alla Terra?

La lunghezza d'onda è osservata più grande e questo può essere spiegato con l'effeto Doppler relativistico nel caso di allontanamento.
La lunghezza d'onda è data dalla formula: $$\lambda \text{'}=\sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}\lambda$$
La lunghezza d'onda osservata è 730 nm (rosso), quella emessa è 487 nm (verde).
Ricaviamo β:
$$\sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}=\frac{\lambda \text{'}}{\lambda }\to \frac{1+\beta }{1-\beta }={\left(\frac{\lambda \text{'}}{\lambda }\right)}^2\to 1+\beta ={\left(\frac{\lambda \text{'}}{\lambda }\right)}^2-{\left(\frac{\lambda \text{'}}{\lambda }\right)}^2\beta \to {\left(\frac{\lambda }{\lambda }\right)}^2-1=\left[1+{\left(\frac{\lambda \text{'}}{\lambda }\right)}^2\right]\beta \to \beta =\frac{{\left(\frac{\lambda \text{'}}{\lambda }\right)}^2-1}{{\left(\frac{\lambda \text{'}}{\lambda }\right)}^2+1}=\frac{{\left(\frac{730}{487}\right)}^2-1}{{\left(\frac{730}{487}\right)}^2+1}\approx 0.384$$