Energia e la Quantità di Moto Relativistiche N° 1

p_{f i n a l e} = p_{i n i z i a l e} \to \frac{M_{0} v_{f}}{\sqrt{1 - {(\frac{v_{f}}{c})}^{2}}} = \frac{m_{0} v_{i}}{\sqrt{1 - {(\frac{v_{i}}{c})}^{2}}} \to \frac{M_{0} v_{f}}{\sqrt{1 - {(\frac{v_{f}}{c})}^{2}}} = \frac{m_{0} 0.8 c}{\sqrt{1 - {(0.8)}^{2}}} \to \frac{M_{0} v_{f}}{\sqrt{1 - {(\frac{v_{f}}{c})}^{2}}} = \frac{m_{0} 0.8 c}{0.6} \to \frac{M_{0} v_{f}}{\sqrt{1 - {(\frac{v_{f}}{c})}^{2}}} = \frac{4}{3} {\cdot m}_{0} c

E_{f i n a l e} = E_{i n i z i a l e} \to \frac{M_{0} c^{2}}{\sqrt{1 - {(\frac{v_{f}}{c})}^{2}}} = \frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1 - {(\frac{v_{i}}{c})}^{2}}} + 3 m_{0} c^{2} \to \frac{M_{0} c^{2}}{\sqrt{1 - {(\frac{v_{f}}{c})}^{2}}} = \frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1 - {(0.8)}^{2}}} + 3 m_{0} c^{2} \to \frac{M_{0} c^{2}}{\sqrt{1 - {(\frac{v_{f}}{c})}^{2}}} = \frac{m_{0} c^{2}}{0.6} + 3 m_{0} c^{2} \to \frac{M_{0}}{\sqrt{1 - {(\frac{v_{f}}{c})}^{2}}} = \frac{14}{3} {\cdot m}_{0}

Sostituendo questo risultato nella Conservazione della Quantità di Moto si ricava la velocità finale:

\frac{14}{3} {\cdot m}_{0} v_{f} = \frac{4}{3} m_{0} c \to v_{f} = \frac{2}{7} c

Riprendendo il Principio di Conservazione dell'Energia e sostituendo la velocità finale si ricava la massa a riposo dopo l'urto:

\frac{M_{0}}{\sqrt{1 - {(\frac{v_{f}}{c})}^{2}}} = \frac{14}{3} m_{0} \to M_{0} = \frac{14}{3} m_{0} \cdot \sqrt{1 - {(\frac{v_{f}}{c})}^{2}} = \frac{14}{3} m_{0} \cdot \sqrt{1 - {(\frac{2}{7})}^{2}} = \frac{14}{3} m_{0} \cdot \sqrt{\frac{45}{49}} = 2 \sqrt{5} m_{0} ≃ 4.47 m_{0}

Classicamente avrebbe dovuto essere 4m₀; un pò di energia si è trasformata in massa.
Dovremmo verificare che a questo aumento di massa, e quindi di energia a riposo pari a (2√5 - 4)m₀c², deve corrispondere una uguale diminuizione di energia cinetica.
L'energia totale del sistema delle due particelle è:

E = \frac{m_{0} c^{2}}{0.6} + 3 m_{0} c^{2} = \frac{5 m_{0} c^{2}}{3} + 3 m_{0} c^{2} = (\frac{5}{3} + 3) m_{0} c^{2} = \frac{14}{3} m_{0} c^{2}

L'energia cinetica iniziale è:

K_{i} = E - E_{0} = \frac{14}{3} m_{0} c^{2} - m_{0} c^{2} - 3 m_{0} c^{2} = (\frac{14}{3} - 4) m_{0} c^{2} = \frac{2}{3} m_{0} c^{2}

L'energia cinetica finale è:

K_{f} = E - E_{0} = \frac{14}{3} m_{0} c^{2} - 2 \sqrt{5} m_{0} c^{2} = (\frac{14}{3} - 2 \sqrt{5}) m_{0} c^{2}

La variazione di energia cinetica è:

Δ K = K_{f} - K_{i} = (\frac{14}{3} - 2 \sqrt{5}) m_{0} c^{2} - \frac{2}{3} m_{0} c^{2} = (\frac{14}{3} - 2 \sqrt{5} - \frac{2}{3}) m_{0} c^{2} = (4 - 2 \sqrt{5}) m_{0} c^{2}

Come si vede la diminuizione di energia cinetica corrisponde esattamente all'aumento di massa.