Energia e la Quantità di Moto Relativistiche N° 10

Negli urti, poiché sono sistemi isolati nell'istante dell'urto, si conserva la quantità di moto:

p_{f i n a l e} = p_{i n i z i a l e} \to \frac{M_{0} v_{f}}{\sqrt{1 - {(\frac{v_{f}}{c})}^{2}}} = \frac{{2m}_{0} v_{i}}{\sqrt{1 - {(\frac{v_{i}}{c})}^{2}}} \to \frac{M_{0} v_{f}}{\sqrt{1 - {(\frac{v_{f}}{c})}^{2}}} = \frac{{2m}_{0} 0.8 c}{\sqrt{1 - {(0.8)}^{2}}} \to \frac{M_{0} v_{f}}{\sqrt{1 - {(\frac{v_{f}}{c})}^{2}}} = \frac{{2m}_{0} 0.8 c}{0.6} \to \frac{M_{0} v_{f}}{\sqrt{1 - {(\frac{v_{f}}{c})}^{2}}} = \frac{8}{3} {\cdot m}_{0} c

Per il Principio di Conservazione dell'Energia:

E_{f i n a l e} = E_{i n i z i a l e} \to \frac{M_{0} c^{2}}{\sqrt{1 - {(\frac{v_{f}}{c})}^{2}}} = \frac{{2m}_{0} c^{2}}{\sqrt{1 - {(\frac{v_{i}}{c})}^{2}}} + 3 m_{0} c^{2} \to \frac{M_{0} c^{2}}{\sqrt{1 - {(\frac{v_{f}}{c})}^{2}}} = \frac{{2m}_{0} c^{2}}{\sqrt{1 - {(0.8)}^{2}}} + 3 m_{0} c^{2} \to \frac{M_{0} c^{2}}{\sqrt{1 - {(\frac{v_{f}}{c})}^{2}}} = \frac{{2m}_{0} c^{2}}{0.6} + 3 m_{0} c^{2} \to \frac{M_{0}}{\sqrt{1 - {(\frac{v_{f}}{c})}^{2}}} = \frac{19}{3} {\cdot m}_{0}

Sostituendo questo risultato nella Conservazione della Quantità di Moto si ricava la velocità finale:

\frac{19}{3} {\cdot m}_{0} v_{f} = \frac{8}{3} m_{0} c \to v_{f} = \frac{8}{19} c

Riprendendo il Principio di Conservazione dell'Energia e sostituendo la velocità finale si ricava la massa a riposo dopo l'urto:

\frac{M_{0}}{\sqrt{1 - {(\frac{v_{f}}{c})}^{2}}} = \frac{19}{3} m_{0} \to M_{0} = \frac{19}{3} m_{0} \cdot \sqrt{1 - {(\frac{v_{f}}{c})}^{2}} = \frac{19}{3} m_{0} \cdot \sqrt{1 - {(\frac{8}{19})}^{2}} = \frac{19}{3} m_{0} \cdot \sqrt{\frac{297}{361}} = \sqrt{33} m_{0} ≃ 5.74 m_{0}

Classicamente avrebbe dovuto essere 4m₀; un pò di energia si è trasformata in massa.