Calcola la velocità che acquista un elettrone dopo 1 ns se è accelerato da un campo elettrico di 1000 V/m sia in modo relativistico che in modo classico.

Ricaviamo la Seconda Legge della Dinamica Relativistica:
$$F=\frac{\mathit{dp}}{\mathit{dt}}=\frac{d}{\mathit{dt}}\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-{\beta }^2}}=m_{0}c\cdot \frac{d}{\mathit{dt}}\frac{\beta }{\sqrt{1-{\beta }^2}}=m_{0}c\cdot \frac{\sqrt{1-{\beta }^2}+\beta \cdot \frac{\beta }{\sqrt{1-{\beta }^2}}}{1-{\beta }^2}\frac{d\beta }{\mathit{dt}}=m_{0}c\cdot \frac{1-{\beta }^2+{\beta }^2}{\sqrt{{(1-{\beta }^2)}^3}}\frac{d\beta }{\mathit{dt}}=\frac{m_{0}c}{\sqrt{{(1-{\beta }^2)}^3}}\frac{d\beta }{\mathit{dt}}=\frac{m_0}{\sqrt{{(1-{\beta }^2)}^3}}\frac{dv}{\mathit{dt}}$$
La forza elettrica è : $$F=E\cdot e$$
Da cui sostituendo (lasciamo beta): $$\mathit{Ee}=\frac{m_{0}c}{\sqrt{{(1-{\beta }^2)}^3}}\frac{d\beta }{\mathit{dt}}\to \frac{d\beta }{\sqrt{{(1-{\beta }^2)}^3}}=\frac{Ee}{m_{0}c}\mathit{dt}$$
Integriamo:
$$\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}\frac{d\beta }{\sqrt{{(1-{\beta }^2)}^3}}=\frac{Ee}{m_{0}c}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\mathit{dt}$$
L'integrale può essere risolto con una sostituzione goniometrica:
$$\begin{array}{c}\sin x=\beta \to \cos x\mathit{dx}=d\beta \to \\ \\ \int \frac{d\beta }{\sqrt{{(1-{\beta }^2)}^3}}=\int \frac{\cos x\mathit{dx}}{{\cos }^{3}x}=\int \frac{\mathit{dx}}{{\cos }^{2}x}=\tan x+c=\frac{\sin x}{\sqrt{1-{\sin }^{2}x}}+c=\frac{\beta }{\sqrt{1-{\beta }^2}}+c\end{array}$$
Passiamo agli integrali definiti:
$$\begin{array}{c}\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}\frac{d\beta }{\sqrt{{(1-{\beta }^2)}^3}}=\frac{Ee}{m_{0}c}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\mathit{dt}\to \\ \to \frac{\beta }{\sqrt{1-{\beta }^2}}=\frac{Ee}{m_{0}c}t\to {\beta }^2={\left(\frac{Ee}{m_{0}c}t\right)}^2-{\beta }^2{\left(\frac{Ee}{m_{0}c}t\right)}^2\to {\beta }^2\left[1+{\left(\frac{Ee}{m_{0}c}t\right)}^2\right]={\left(\frac{Ee}{m_{0}c}t\right)}^2\to \beta =\frac{\frac{Ee}{m_{0}c}t}{\sqrt{1+{\left(\frac{Ee}{m_{0}c}t\right)}^2}}\to \\ \\ v=\frac{at}{\sqrt{1+{\left(\frac{a}{c}t\right)}^2}}\end{array}$$
con a l'accelerazione classica che è: $$a=\frac{\mathit{Ee}}{m_0}=\frac{1000\cdot 1.6\cdot {10}^{-19}}{9.11\cdot {10}^{-31}}\approx 1.756\cdot {10}^{14}m/s\mathrm{²}$$ La velocità relativistica è: $$v=\frac{at}{\sqrt{1+{\left(\frac{a}{c}t\right)}^2}}=\frac{1.756\cdot {10}^{14}\cdot 1\cdot {10}^{-9}}{\sqrt{1+{\left(\frac{1.756\cdot {10}^{14}}{3\cdot {10}^8}1\cdot {10}^{-9}\right)}^2}}\approx 175599.997m/s$$
Quella classica è: $$v=at=1.756\cdot {10}^{14}\cdot 1\cdot {10}^{-9}=175600m/s$$
Notare che quando t tende ad infinito v non cresce all'infinito (come nel caso classico) ma tende a c